2025年度　長崎県公立高校入試Ｂ問題過去問【数学】解説

問題ＰＤＦ

大問１（小問集合）

（１）
（√３＋２）（√３＋１）－９/√３
＝３＋３√３＋２－３√３
＝５

（２）
３ａｂ²×（－４ａ²ｂ）÷２ａ²ｂ²
＝－６ａｂ

（３）
2250×９/10＝2025円

（４）
比例定数ａ＝ｘｙ＝15
（１、15）（３、５）（５、３）（15、１）
反比例は双曲線なので、これらの負も含む。
８個

（５）
２ｘ＋ｙ＝３　…①
１/２ｘ－（ｙ＋２）/６＝－５/３　←６倍
３ｘ－ｙ－２＝－10
３ｘ－ｙ＝－８　…②

①＋②をすると、５ｘ＝－５
ｘ＝－１
①に代入、ｙ＝５
ｘ＝－１、ｙ＝５

（６）
ａ²－５ａ－６
＝（ａ＋１）（ａ－６）

（７）
（ｘ＋１）²＝３
ｘ＋１＝±√３
ｘ＝－１±√３

（８）

△ＢＦＧは３：４：５の直角三角形→ＢＧ＝５ｃｍ
△ＢＧＨは直角二等辺だから、１：１：√２よりＢＨ＝５√２ｃｍ

（９）

同位角で42°を移す。
青線で外角定理→ｘ＝42－20＝22°

（10）

直角から残りの頂点はＡＢを直径とする円の円周上にある。
また、直角二等辺＝左右対称ゆえ、ＡＢの垂直二等分線上にある。
①ＡＢの垂直二等分線②半円
これらの交点とＡ、Ｂを結ぶ。

大問２（小問集合２）

（１）①

１：32.0℃は四分位数ではないから不明。×
２：四分位範囲＝第３四分位数（Ｑ3）－第１四分位数（Ｑ1）
　箱の長さを示し、1973年の四分位範囲は１.5℃程。×
３：1973年のＱ1＜2023年のＱ3×
　1973年のQ3＞2023年のQ1である。
４：31個のＱ3は上位15個の真ん中、上から８番目。
　2023年のＱ3は35℃を超える→上位８日は35℃超〇
４

②
最小値最大値からア×
Ｑ3は上から８番目、Ｑ1は下から８番目。いずれでも判断できない。
中央値（Ｑ2）は16番目の値→ウは34～35℃×
イ

（２）①
全体は６×６＝36通り
和が５→（１、４）（２、３）と逆で４通り。
確率は４/36＝１/９

②
全体は36通り。
２数の積が奇数となるのが、36×５/12＝15通りになればいい。
【奇数×奇数＝奇数】→ＡＢともに奇数の組み合わせが15個
Ａの奇数は３個。
Ｂの奇数は15÷３＝５個

（３）
（ｂ、ｃ、ｄをそれぞれａを用いて表すと、）
ｂ＝ａ＋１、ｃ＝ａ＋２、ｄ＝ａ＋３
ｂｃ－ａｄ
＝（ａ＋１）（ａ＋２）－ａ（ａ＋３）
＝ａ²＋３ａ＋２－ａ²－３ａ
＝２
したがって、連続する４つの整数をａ、ｂ、ｃ、ｄとするとき、
ｂｃ－ａｄの値は常に２になる。

大問３（関数）

（１）
ｙ＝ｘ²に－４を代入。
ｙ＝（－４）²＝16

（２）
ｙ＝ｘ²は下に凸のグラフ。
ｘ＝０のとき、最小値ｙ＝０
ｘ＝－４のとき、最大値ｙ＝16
０≦ｙ≦16

（３）
Ａ（－４、16）→Ｂ（２、４）
右に６、下に12だから、傾きは－12/６＝－２
切片はＢから左に２、上に４移動して、４＋４＝８
ｙ＝－２ｘ＋８

（４）①

∠ＢＡＱ＝∠ＡＱＰより、錯角が等しいからＡＢ//ＰＱ
ＰＱの傾きは－２
Ｐ（ｔ、ｔ²）Ｑ（ｔ＋３、（ｔ＋３）²）

ＰとＱのｘ座標の差が３
傾き－２より、ｙ座標の差は６
ｔ²－（ｔ＋３）²
＝－６ｔ－９＝６
ｔ＝－５/２

②

台形の面積18、高さ３より、
ＲＰ＋ＳＱ＝18×２÷３＝12

各座標をｔで示すと上図になる。
ＲＰ＝（－２ｔ＋８）－ｔ²＝－ｔ²－２ｔ＋８
ＳＱ＝－２（ｔ＋３）＋８－（ｔ＋３）²
＝－２ｔ－６＋８－ｔ²－６ｔ－９＝－ｔ²－８ｔ－７

ＲＰ＋ＳＱ
＝（－ｔ²－２ｔ＋８）＋（－ｔ²－８ｔ－７）
＝－２ｔ²－10ｔ＋１＝12
２ｔ²＋10ｔ＋11＝０
解の公式より、ｔ＝（－５±√３）/２

大問４（平面図形）

（１）①
△ＡＢＣ∽△ＡＣＤの証明。

共通角より、∠ＢＡＣ＝∠ＣＡＤ
仮定より、∠ＡＣＢ＝90°
半円の弧に対する円周角より、∠ＡＤＣ＝90°
∠ＡＣＢ＝∠ＡＤＣ
２角相等で∽

②

△ＡＢＣで三平方→ＡＢ＝３√２ｃｍ
ＡＢ：ＡＣ＝ＡＣ：ＡＤ
ＡＤ＝２√３×２√３/３√２＝２√２ｃｍ

（２）①

△ＡＢＣは直角二等辺。
ＤＣに補助線。
△ＡＣＤも△ＢＣＤも直角二等辺→ＡＤ＝ＢＤ（ＤはＡＢの中点）
上図のように対称性を利用して移植すると、求積すべき図形は△ＢＣＤ。
２√３×２√３÷２÷２＝３ｃｍ²

②

移植した部分は上下対称で等しいから、移植後の回転体（青線）で考える。
小さい円錐と大きい円錐の相似比は１：２
体積比は相似比の３乗→①：⑧
真ん中の円錐は小さい円錐を上下にひっくり返して①
求積すべき立体の体積は⑧－①×２＝⑥となる。
２√３×２√３×π×２√３÷３×⑥/⑧＝６√３πｃｍ³

＠別解＠

【パップス・ギュルダンの定理；回転体の体積＝断面積×重心の移動距離】
断面積…△ＢＣＤ＝３ｃｍ²
重心の距離…△ＢＣＤは直角二等辺なので、重心ＧはＤの真下にある。
回転体の体積は、３×２√３π＝６√３πｃｍ³

大問５（平面図形２）

（１）

１つの頂点に集まる内角の大きさの合計が360°のとき、隙間なく並べられる。
正ｎ角形の内角の和→180（ｎ－２）
正五角形108°と正六角形120°の内角は覚えておくといい。
ア…360°、イ…108°、ウ…120°

＠余談＠
360は108の倍数ではないため、正五角形ではうまく並べられない。

（２）

Ｏは内接円の中心（内心）で、内角60°の二等分線上にある。
青線は１：２：√３の直角三角形→正三角形の１辺は２√３ａ
正三角形の周の長さは６√３ａ

正方形の１辺は円の直径２ａ
正方形の周の長さは８ａ

内接円の半径ａを〇√３とすると正六角形の１辺は②
正六角形の周の長さは、ａ×②/〇√３×６＝４√３ａ

【６√３ａ・８ａ・４√３ａ】の大小関係を考察する。
４√３ａ＜６√３ａ
８ａはどこに入るか？
√３＝1.7320508…（人並におごれや）
４√３≒４×1.73＝6.92
６√３≒6.92＋２×1.73＞８
【４√３ａ＜８ａ＜６√３ａ】
エ…２√３ａｃｍ、オ…６√３ａｃｍ、カ…８ａｃｍ、キ…４√３ａｃｍ
ク…４√３ａ、ケ…８ａ、コ…６√３ａ

（３）
周の長さが最小なのは４√３ａの正六角形。
サ…３

（４）
針金の長さが共通なので、これをｂとする。

１辺の長さは１/３ｂ、高さは√３/６ｂだから、
面積は１/３ｂ×√３/６ｂ÷２＝√３/36ｂ²
（正三角形の面積の公式を用いると、√３/４×（１/３ｂ）²＝√３/36ｂ²）
正方形の１辺は１/４ｂ→面積は（１/４ｂ）²＝１/16ｂ²

先ほどの正三角形と、正六角形を６等分した１つの正三角形の相似比は２：１
面積比は④：①→正六角形は⑥
√３/36ｂ²×⑥/④＝√３/24ｂ²
【√３/36ｂ²・１/16ｂ²・√３/24ｂ²】

太郎と同じ結論になるので、結果だけを示していいが、
比較をするならば分子を√３に統一するのがいい。
16√３≒16×1.73＝27.68
分母が最も小さい√３/24ｂ²が最も大きいから、面積が最大となる図形は正六角形。
シ…ｂ

＠余談＠

周の長さが一定の場合、面積が最大となる図形は円である。
しかし、円を敷き詰めるとスキマができて無駄なスぺースが生じる。
周の長さ（壁をつくるのに必要な材料）を最小に、かつ空間を最大限に使うには、
合同な正六角形を敷き詰めるのが合理的である。このような構造をハニカム構造という。