2023年度 秋田県公立高校入試問題過去問【数学】解説

平均48.1点(前年比;-7.4点)

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大問1(小問集合)

*15問の中から指示された8問を解答する。
(1) 79.9%
8+12÷(-4)
=8-3

(2) 63.7%
12ab÷6a2×2b
=4b2/a

(3) 83.6%
4=√16>√10
4>√10

(4) 70.4%
2(x-5y)+5(2x+3y)
=2x-10y+10x+15y
=12x+5y ←ここで代入
=12×1/2+5×(-3)
=6-15
=-9

(5) 58.2%
√2/2-1/3√2
=√2/2-√2
/6
=√2/3

(6) 61.9%
(5x-2)/4=7 ←両辺×4
5x-2=28
x=6

(7) 85.8%
2x+y=5 …①
x-4y=7 …②
①-②×2で、9y=-9
y=-1
①に代入、2x-1=5
x=3
x=3、y=-1

(8) 79.1%
2+5x+2=0
解の公式を適用して、x=(-5±√17)/2

(9) 17.6%!

1辺5cmの正三角形をバラすと、外周は5×3×3=45cm
1辺acmの正三角形は底辺が外周の重複部分で、他2辺は内部にある。
45cmから、3a×2=6acmを引けばいい
45-6acm

(10) 11.3%!
231を素因数分解。231=3×7×11
231の約数は1、3、7、11、3×7=21、3×11=33、7×11=77、231の8個。
これらをn+2とすると、n=-1、1、5、9、19、31、75、229
nは100より小さい素数だから、n=
5、19、31

(11) 79.7%

BCを時計回りに45°回転させるとFC。
∠FCD=45°だから、DCは対角線EC上にある
ADとEFの交点をHとすると、∠HED=45°
△HDEは直角二等辺で
∠EHD=45°
x=180-45=
135°

@別解@

∠HFC=∠HDC=90°から、4点H・F・C・Dは直径HCとする同一円周上にある。
内接する四角形の対角の和は180°だから、x=180-45=135°

(12) 29.3%!

弧BC=弧CD=弧DEから、3つの中心角()は等しい。
∠BOC=(180-42)÷3=46°
この円周角が∠BFCだから、x=46÷2=23°

(13) 49.1%

2角相等で△ABC∽△DAC。
AD=12×6/8=
9cm

(14) 1.4%!!

水の体積は変わらない⇒空気の部分の体積も変わらない
空気の部分の高さの比は、4:12=
底面積の比は逆比で


水面の両端をG、Hとする。
△AGH:△ABC=
相似比は、AG:AB=〇√3
AG=6×/〇√3=2√3cm
水面の高さGB=6-2√3cm

(15) 18.9%!

底面の円の円周は、4×2×π=8πcm
これが3.5周したから、円Oの円周は8π×3.5=28πcm
円Oの半径は、28π÷π÷2=14cm→円錐の母線が14cm
円錐の側面積=母線×半径×π
円錐の表面積は、4×4×π+14×4×π=72πcm2


大問2(小問集合2)

(1)① 61.5%

休憩場所はちょうど駅と図書館の中間(1800m地点)である。
前半と後半の速さの比は、60:120=1:2
距離が等しければ、
時間の比は逆比で2:1
前半の移動が30分間だから、後半の移動は15分間。
50-15=35分のときに休憩地点を発った(=休憩時間は5分間)。

② 36.0%
健司は毎分60分、美咲は毎分240分で移動する。
両者は1分あたり300m近づくので、3600÷300=12分後に出会う。
(健司が休憩する前の時刻だから問題ない)
午前10時12分

(2)① 73.5%
取り出し方は全部で、3×3=9通り
積が奇数は、奇数×奇数しかない
積が奇数の組み合わせは(1、5)(3、5)の2通り。
確率は2/9。

② 38.5%

追加前の積が奇数は2通り、偶数は7通りだった。
袋Bに7を1枚入れると、奇数は(1、7)(3、7)、偶数は(2、7)が追加。
7を1枚入れるたびに積が奇数は2通り、偶数は1通り追加される
追加前の差が7-2=5通りで、1枚ごとに差が1通りずつ縮まるので、

5枚入れると奇数と偶数の場合の和が等しくなり、確率も等しくなる。
5枚

(3) 72.4%

Aを接点とする接線の作図。
半直線OAでAを通る垂線を描けばいい。

大問3(データの活用)

(1) 76.2%
最頻値(モード)は最もあらわれている値。
31人の中央値は16番目の値だが、最頻値が最も小さいイ(20-30分)を選べばいい。

(2) 38.9%
範囲(レンジ)=最大値-最小値=110-5=105分
30人の第1四分位数は下位15人の真ん中、下から8番目の30分。
範囲…105分、第1四分位数…30分

(3)① 36.0%
ア:グループ2の第1四分位数は55分を超える。55分以下は多くても4人しかない。〇
イ:55分以下が最も少ないのはグループ2⇒55分以上が最も多いのはグループ2。×
 少なくとも12人は55分以上である。
ウ:80~100分のグループ1と3はヒゲの部分で詳細が不明。×
エ:最大値は100分以上だから、どのグループにもいる。〇
ア、エ

② 53.5%
説明問題。
四分位範囲=第3四分位数-第1四分位数
箱の横の長さで、極端な値を除外した真ん中50%のデータの散らばり具合を表す。
範囲と四分位範囲が最も大きいグループ1がデータの散らばり具合が最も大きい。

大問4(平面図形)

(1) 24.2%!
△ACE≡△BCFの証明。

仮定から、CE=CF
正三角形の1辺より、AC=BC
正三角形の内角とAC//ECの錯角で、∠ACE=∠BCF
2辺とあいだの角が等しいから合同。

(2)ア 42.7%
いきなり論理形式の問題が現れる。
『a=3、b=6ならば、a+b=9』
ならばの前が仮定、後ろが結論で、これらをひっくり返すとになる。
逆【a+b=9ならば、a=3、b=6】


もとの命題が(正しい)でも、逆は必ずしも真ではない
先の逆であれば、a=4、b=5の場合は成り立たない
反例が1つでもあれば、(誤り)になる。
(1、8)(2、7)でもOK。0は自然数ではない。

@逆・裏・対偶@

『pであるならば、qである』という命題に対して、
『qであるならば、pである』をといい、
『pでないならば、qではない』をという。(pやqの上に ̄がつく)
逆や裏は必ずしも真とは限らない。
『qでないならば、pではない』を対偶といい、
元の命題(p⇒q)が真ならば、対偶は必ず真である。

たとえば、【4の倍数であれば、2の倍数である】という真の命題に対して、
逆【2の倍数であれば、4の倍数である】、
裏【4の倍数でなければ、2の倍数でない】は反例があるので偽である。
(6や10は4の倍数ではない2の倍数)
一方で、対偶【2の倍数でなければ、4の倍数でない】は真である。

(3) 13.3%!
3辺の関係性を示すと、
AB=BC+2、BC=CA+7
AB>BC>CAなので、最も長いABが斜辺である。

最も短いACをxcmとすると、BC=x+7、AB=x+9。
2+(x+7)2=(x+9)2
2-4x-32
=(x-8)(x+4)=0
x>0より、x=8
斜辺AB=x+9=17cm

@別解@

求めたいABを直接xにおいても、もちろんできる。
2=(x-9)2+(x-2)2
2-22x+85
=(x-17)(x-5)=0
最も短いACに着目して、x-9>0でなければならないからx>9
よって、x=17→17cm


大問5―Ⅰ(関数)

(1) 40.1%
答案では求める過程も記述する。
A(-1、1)→B(2、4)
右に3、上に3だから傾きは1。
切片はAから右に1、上に1で1+1=2
y=x+2

(2) 26.4%!
y=2/3x2にx=3を代入。
y=2/3×9=6
B(2、4)C(3、6)
x座標の差が1、y座標の差が2。
三平方の定理でBC=√5cm

(3) 3.9%!!
y=ax2にあるQのx座標が知りたい。

y=x2にy=1を代入、x>0からP(1、1)
AとP、QとBはy座標が同じで、QB//AP
台形APBQをABで分割する
△APBの面積は、2×3÷2=3cm2
△ABQの面積は、12-3=9cm2になる。
QB=9×2÷3=6cm

Qのx座標は、2-6=-4
y=ax2にQ(-4、4)を代入する
4=16a
a=1/4

大問5―Ⅱ(関数)

(1) 63.0%
答案では求める過程も記述する。
y=1/2x2にx=-2を代入すると、y=2
A(-4、8)→P(-2、2)
右に2、下に6だから、傾きは-6/2=-3
Bから右に2、下に-6移動して、切片は2-6=-4

y=-3x-4

(2)① 28.3%!

y=-x+4の傾きは-1→右下45°
AQを斜辺とする直角二等辺三角形をつくる
辺の比は1:1:√2、AQ=5√2cm→等辺は5cm
t=-4+5=1

② 0.0%!!!

各座標をtで表す。
y=1/2x2とy=-x+4にx=tを代入。
P(t、1/2t2)Q(t、-t+4

BはQRの中点。
QとRのx座標を平均すると、Bのx座標の2になる。
QとRのx座標の和は2×2=4だから、Rのx座標は4-t。
同様にQとRのy座標の和も4だから、Rのy座標は4-(-t+4)=t
R(4-t、t)

y=1/2x2にx=4-tを代入して、Sのy座標をtで表す。
S(4-t、1/2(4-t)2

非常に面倒であるが(´・_・`)、台形PQSRの上底と下底、高さをtで表す。
上底QP=-t+4-1/2t2=-1/2t2-t+4
下底SR=1/2(4-t)2-t=1/2t2-5t+8
高さ=4-t-t=4-2t

台形の面積で等式を立てる。
1/2(-1/2t2-t+4+1/2t2-5t+8)(4-2t)=30
1/2(-6t+12)(4-2t)=30

(-6t+12)=-6(t-2)、(4-2t)=2(2-t)にして、
左辺の1/2と2を除外、両辺を÷6すると-(t-2)(2-t)=5になる。
(2-t)にマイナスをかけると-(t-2)
マイナス同士を相殺、(t-2)2=5の形にもっていけば解の公式を省くことができる。
-4<t<2より、
t=2-√5


大問1
後半に厄介な問題が含まれる。
(9)重複部分の2つの小さい正三角形をひけばいいが止まりやすいか。
(10)n+2は231の約数。約数-2をして条件に合うnを探る。
(11)どの角が45°になるか。対応する辺に注目する。
(12)xは∠BOCの円周角。弧が等しいと中心角も等しい。
(14)正答率は低いと思われる。
体積一定→高さの比と底面積の比は逆比。
水の部分でもできるが、空気の部分の方が水面の高さがやや求めやすくなる。
(15)円Oの半径が円錐の母線。
大問2
(1)サクサクいきたい。
(2)②思考力が問われた。
積が奇数パターンが偶数パターンと比べて1個ずつ増えていく。
大問3
(1)すべて31人で中央値は16番目の値だが、
最頻値が小さいものを選べば自動的に正答となる。
(3)箱ひげ図も取りやすかった。
大問4
(2)こんなところで論理がくるとはね(´・∀・`)
(3)3辺の大小関係を捉える。斜辺が最も長い。
大問5―Ⅰ
(3)台形を分割し、面積からQBの長さを求める。
大問2―Ⅱ
いつもは発想力が問われる図形問題が多かったが、今年は関数色が濃い処理系であった。
(2)②非常に手間のかかる設問であった(´・_・`)
記述にして部分点の救済を与えるのは、(1)ではなくこっちだろうよ。
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QUIZ…☆4以上はムズいよ!
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