2025年度　鹿児島県公立高校入試問題過去問【数学】解説

問題ＰＤＦ

大問１（小問集合）

（１）①
７＋18÷３
＝７＋６
＝13

②
３/５－１/６×４/５
＝３/５－２/15
＝７/15

③
√32－（６/√２＋√８）
＝４√２－３√２－２√２
＝－√２

④

最小公倍数は、３×４×５×７＝420

＠余談＠
60＝２²×３×５
84＝２²×３×７
最大公約数は共通部分を抜き出す→２²×３＝12
最小公倍数は指数の大きい方を抜き出す→２²×３×５×７＝420

⑤
逆数…ある数との積が１になる数。
ア：３/４→４/３　イ：３→１/３　ウ：－１/２→－２　エ：0.9＝９/10→10/９
１より大きい逆数はア・エ

（２）
ｘ²－３ｘ＋１＝０
解の公式より、ｘ＝（３±√５）/２

（３）
ａ＞０、ｂ＜０
ア：２ａ＋ｂ…ａ＝１、ｂ＝－100は負。×
イ：ａ－３ｂ…負×負＝正。－３ｂは正だから、正＋正＝正。〇
ウ：３－ａ－ｂ…ａ＝1000、ｂ＝－１は負。×
エ：（ａｂ）²＝ａ²ｂ²。ａ²もｂ²も正だから、正×正＝正。〇
イ・エ

（４）
ｘ＝１のとき、ｙ＝２
ｘ＝３のとき、ｙ＝２/３
２/３≦ｙ≦２

（５）
【37秒で185ｍ】泳ぐ。
１分＝60秒では、185×60/37＝分速300ｍ
＠＠
かごしま水族館は実在するようです。

大問２（小問集合２）

（１）
全体は６×６＝36通り
素数は１と自身以外に約数をもたない数。
積が素数ということは、片方のサイコロは１確定。
他方が素数であればいい。
（１、２）（１、３）（１、５）と逆。
計６通りだから、確率は６/36＝１/６

（２）

2014年…29/653
2023年…78/1264
概算で大小関係を把握したい。2014年→2023年の分母は２倍弱だが、分子は２倍超え。
分子の増加量が分母の増加量より大きいので、78/1264の方が大きい。
78÷1264＝0.0617…≒6.2％
2023年、6.2％

（３）

ＢＰ：ＰＣ＝２：１となるＢＣ上のＰを作図する。
わざわざ罫線が引かれている点に注意したい。
上から２本目の罫線とＡＢとの交点をＤとすると、ＢＤ：ＤＡ＝２：１
Ｄを通るＡＣに平行な線をひくと、ＢＤ：ＤＡ＝ＢＰ：ＰＣ＝２：１

問題は平行線の引き方。
菱形を描く。
ＡＤの長さで弧を描き、長さをキープしたまま２つの交点から弧を描く。
４辺が等しい菱形は対辺が平行である。平行線とＢＣとの交点がＰ。

（４）
△ＡＯＥ≡△ＤＯＣの証明。

共通角より、∠ＡＯＥ＝∠ＤＯＣ
半径より、ＯＡ＝ＯＤ
ＣとＥは半径の中点だから、ＯＥ＝ＯＣ
２辺とあいだの角が等しいので△ＡＯＥ≡△ＤＯＣ

（５）
答案では方程式と計算過程も書く。
正四面体の模型をｘ個、立方体の模型をｙ個とする。
面の数は４面と６面。
４ｘ＋６ｙ＝128　…①
頂点の数は４個と８個。
４ｘ＋８ｙ＝156　…②
②－①をすると、２ｙ＝28
ｙ＝14
①に代入、４ｘ＋84＝128
ｘ＝11
正四面体の模型…11個、立方体の模型…14個

大問３（データの活用）

（１）

容赦ない(;´Д`A
箱ひげ図より日本の中央値は190.5ｃｍなので、仮の平均を190ｃｍとする。
（－３＋10－７＋０＋５＋14－15＋12－２＋１＋10－19）÷12＝６÷12＝0.5ｃｍ
190＋0.5＝190.5ｃｍ

（２）

最小値…183ｃｍ、第１四分位数（Q1）…195、中央値（Q2）…199.5
第３四分位数（Q3）…203、最大値…207

最大値からエ×
12人の中央値は６番目と７番目の平均。ウ×
アは194～200・200～206をまたぐので、平均199.5はあり得る。
Q1は下位６人の真ん中→下から３番目と４番目の平均。イ×
ア

（３）
①最大値はスロベニアが最も大きい。〇
②各国の最大値の６番目はブラジルだが、209ｃｍ超が別チームに複数いるかもしれない。△
③Q3が最も大きいのはエジプト・ドイツ。アメリカが最も大きいのはQ1。×
④四分位範囲＝Q3－Q1。箱が最も短いのはポーランドの隣のスロベニア。×
①ア、②ウ、③イ、④イ

（４）

ドイツの最小値…186、Q1…192、Q2…195、Q3…205、最大値…210
Q2以外は合っている。平均が195となる組み合わせを考える。
（195、195）→195は２個ない×
（194、196）→これしかない。
194を６番目にするには193か194を追加する。
192を入れてしまうと、Q1が191と192の平均→191.5に変わるので不適。
193と194

大問４（関数）

（１）
ｙ＝ａｘ²のａの絶対値が大きくなるほど、グラフの開きは小さくなる。

（２）①
ｙ＝ｘ²にｘ＝２を代入→Ｐ（２、４）
Ｑ（０、２）→Ｐ（２、４）
右に２、上に２だから、傾きは２/２＝１
切片はＱのｙ座標。
ｙ＝ｘ＋２

②

Ｒ（－１、１）
底辺をＯＱ、高さをｘ座標でみるといい。
△ＯＰＱ…２×２÷２＝２
△ＯＱＲ…２×１÷２＝１

（３）
ＰＱが右下がり→Ｐのｙ座標はＱよりも下。

ＰとＱのｙ座標が等しい場合を考える。
Ｐ（２、２）
ｙ＝ａｘ²にＰ座標を代入。
２＝４ａ
ａ＝１/２

絶対値を小さくすると、グラフの開きは大きくなり、
ｘ＝２上にあるＰの位置は下がっていく（ＰＱは右下がり）
つまり、０＜ａ＜１/２を選べばいい。
ウ・エ

（４）
答案では求め方や計算過程も書く。

△ＯＰＲの面積は５、高さ２だから、
幅は５×２÷２＝５
Ｒのｘ座標は２－５＝－３
Ｒ（－３、９ａ）

Ｒのｙ座標はＰより大きいから、ＰＲは右下がりになる。
ＲＱの傾き＝ＱＰの傾きで等式。
（２－９ａ）/｛０－（－３）｝＝（４ａ－２）/（２－０）
（２－９ａ）/３＝（４ａ－２）/２　←６倍して整理
30ａ＝10
ａ＝１/３

大問５（平面図形）

（１）
正六角形の１つの内角は120°

＠余談＠
隙間なく敷き詰められる合同な正多角形は正三角形・正方形・正六角形だけ。
いずれも内角の１つが360の約数である。

（２）

１辺が４ａの正三角形の面積…Ｓ＝√３/４×（４ａ）²＝４√３ａ²
１辺が３ａの正方形…Ｔ＝（３ａ）²＝９ａ²
１辺が２ａの正六角形…６等分する。
先ほどの正三角形と相似比２：１→面積比④：①だから、４√３ａ²×①/④×６＝６√３ａ²
Ｓ＝４√３ａ²、Ｔ＝９ａ²、Ｕ＝６√３ａ²

（３）
周の長さが等しいとき、それぞれの面積は、
正三角形…４√３ａ²、正方形…９ａ²、正六角形…６√３ａ²
√３＝1.7320508…（人並みにおごれや）
４√３ａ²＜９ａ²＜６√３ａ²

面積が等しいとき、周の長さの順序は逆になる。
面積が最も小さかった正三角形は、周を長くして拡大しなければ正六角形と等積にならない。
面積が最も大きかった正六角形は、周を短くして縮小しなければ正三角形と等積にならない。
３つの図形の面積が等しいとき、正六角形の周の長さが最も短い。
ウ

＠余談＠

周の長さが一定の場合、面積が最大となる図形は円である。
しかし、円を敷き詰めるとスキマができて無駄なスぺースが生じる。
周の長さ（壁をつくるのに必要な材料）を最小に、かつ空間を最大限に使うには、
合同な正六角形を敷き詰めるのが合理的である。このような構造をハニカム構造という。

（４）①

ＡＤとＢＦの交点をＧとする。
△ＡＢＦは二等辺三角形→∠ＡＢＦ＝（180－120）÷２＝30°
対称性から△ＡＢＧは１：２：√３の直角三角形。
ＢＧ＝１/２
Ｌ＝６ＡＢ＝６×１/２×２/√３＝２√３
Ｌの近似値…２√３＝２×1.732＝3.464

②
答案では求め方や計算過程も書く。

図形全体が回転対称（回転させると一致する）
正十二角形の外角30°と１辺より、赤線の三角形は１辺両端角相等で合同。

前問より、正六角形の１辺であるＨＬ＝２√３÷６＝√３/３ｃｍ
対称性からＪＬ＝√３/３÷２＝√３/６ｃｍ
合同の二等辺を２等分した直角三角形→△ＡＪＩ≡△ＡＪＫ≡△ＬＭＫ
ＩＪ＝ＪＫ＝√３、ＫＬ＝２→ＪＬ＝２＋√３＝√３/６ｃｍ
正十二角形の１辺ＩＫ＝２√３
正十二角形の周の長さＭは、

Ｍ＝24－12√３
Ｍの近似値…24－12√３＝24－12×1.732＝3.216

＠＠
円周率＝円周÷直径
①正六角形…3.464÷１＝3.464
②正十二角形…3.216÷１＝3.216
正十二角形の方がπ＝3.14159265…に値が近い。