2024年度　愛知県公立高校入試問題過去問【数学】解説

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大問１（小問集合）

（１）
４×（－３）－（－６）÷３
＝－12＋２
＝－10　【イ】

（２）
（－２ｘ＋１）/４－（ｘ－３）/３
＝｛３（－２ｘ＋１）－４（ｘ－３）｝/12
＝（－６ｘ＋３－４ｘ＋12）/12
＝（－10ｘ＋15）/12　【ウ】

（３）
（６ａ²ｂ－12ａｂ²）÷２/３ａｂ　←分配法則
＝６ａ²ｂ÷２/３ａｂ－12ａｂ²÷２/３ａｂ
＝９ａ－18ｂ　【エ】

（４）
ｘ²＋ｘｙ－ｙ²
＝（ｘ²－ｙ²）＋ｘｙ
＝（ｘ＋ｙ）（ｘ－ｙ）＋ｘｙ　←ここで代入
＝｛（√３＋√２）＋（√３－√２）｝｛（√３＋√２）－（√３－√２）｝＋（√３＋√２）（√３－√２）
＝２√３×２√２＋（３－２）
＝４√６＋１　【ウ】

（５）
（ｘ＋３）²－11＝５（ｘ＋２）
ｘ²＋６ｘ＋９－11＝５ｘ＋10
ｘ²＋ｘ－12
＝（ｘ＋４）（ｘ－３）＝０
ｘ＝－４、３　【イ】

（６）
トマト…３ａｇ、きゅうり…２ｂｇ
これらの合計が900ｇより軽いから、３ａ＋２ｂ＜900　【イ】

（７）
ａ＝４×３＝12
ｙ＝12/ｘ
ｘ＜ｙである『整数』→負の整数も含む点に注意！
（ｘ、ｙ）＝（１、12）（２、６）（３、４）
（－12、－１）（－６、－２）（－４、－３）の６個。　【エ】

（８）
ア：64の平方根＝２乗すると64になる数だから±８。〇
イ：√16＝４×（*－√16＝－４）
ウ：√（－６）²＝√36＝６×
エ：√16－√９＝４－３＝１×
オ：√３×５＝５√３×
カ：√21÷√７＝√３〇
【ア】【カ】

（９）

わかりやすい最小値・最大値から判断すると、イは最小値が違う。
40人の中央値（Q2）は20番目と21番目の平均。
第１四分位数（Q1）は下位20人の真ん中、下から10番目と11番目の平均。
15～20ｍの階級に含まれるので、アは誤り。
第３四分位数（Q3）は上位20人の真ん中、上から10番目と11番目の平均。
30～35ｍに含まれるので、ウは誤り。　【エ】

（10）

ＤＥ：ＥＣ＝②：③→平行四辺形の対辺は等しいのでＡＢ＝⑤
△ＡＢＦ∽△ＣＥＦより、ＡＦ：ＦＣ＝⑤：③

△ＡＢＣ∽△ＦＧＣより、ＦＧ＝10×③/⑧＝15/４ｃｍ　【ウ】

大問２（小問集合２）

（１）
それぞれの場合の数を調べる。
①ａ＋ｂが偶数
ａ、ｂがいずれも偶数か奇数。
偶数は３枚、うち２枚を選ぶ→３×２＝６通り
（ａ・ｂと順番をつけて並べるので順列）
奇数も３枚で同様に６通り。計12通り。
②ａ－ｂが正の数
ａ＞ｂになればいい。
同じ数はないので、ａ＞ｂとａ＜ｂのパターンは同数ある。
全体は６×５＝30通りだから、30÷２＝15通り
③ａｂが奇数
積が奇数となるには奇数だけをかける。
奇数３枚から２枚選ぶ→３×２＝６通り
④ａがｂの約数
（ａ、ｂ）＝（２、４）（２、６）（３、６）の３通り
⑤ａとｂが素数
素数は２、３、５、７の４枚。２枚選ぶ→４×３＝12通り
場合の数が同じ＝確率が同じなのは①と⑤。　【エ】

（２）

ｙ＝ａｘ²にｘ座標を代入して、Ａ（２、４ａ）Ｂ（－３、９ａ）
△ＤＯＡの面積を求めるために、Ｄ座標を調べる。
ＡとＢのｘ座標から、ＢＤ：ＤＡ＝③：②
ＡとＢのｙ座標の差がちょうど５ａ→⑤＝５ａだから②＝２ａ
Ｄのｙ座標は、４ａ＋２ａ＝６ａ

△ＤＯＡの面積は、６ａ×２÷２＝６ａ
△ＣＢＤの面積は仮定より、６ａ×２＝12ａ
ＣＤの長さは、12ａ×２÷３＝８ａ

Ｃのｙ座標で方程式を立てると、
６ａ＋８ａ＝14ａ＝21/２
ａ＝３/４　【ウ】

（３）①
６分間で弟は、120×６＝720ｍ走っている。
Ｂ地点から、720－600＝120ｍの場所。
Ａ地点との距離は、600－120＝480ｍ　【オ】

②

兄は１分遅れで出発、１分前に到着するから、18分間走っている。
３往復するので、片道の時間は18÷３÷２＝３分
グラフを描くと、すれ違うところは４回。【イ】
（＊追い抜く場合は含めない）

大問３（図形）

（１）

ＢＣ//ＦＥの錯角から、∠ＥＢＣ＝21°

△ＢＣＤで外角定理→∠ＤＣＢ＝90－21＝69°
△ＡＢＣは二等辺なので、∠ＡＢＣ＝69°
∠ＡＢＤ＝69－21＝48°

（２）①

△ＢＣＥで三平方→ＢＥ＝２√５ｃｍ
ＦはＢＥの中点だから、ＥＦ＝２√５÷２＝√５ｃｍ

②
本試験最大の鬼問。

奇妙な等角が気持ち悪い(;´･ω･)
直接、ＧとＨの位置を探りにいくのは難しそうなので、初手はＦに着目する。
Ｆから垂線をひき、それぞれをＩ・Ｊとする。
△ＦＢＪ∽△ＥＢＣより、ＦＪ＝２÷２＝１ｃｍ
ＩＦ＝４－１＝３ｃｍ
ＩはＡＤの中点だから、ＡＩ＝２ｃｍ
△ＡＦＩ∽△ＦＧＨより、ＡＩ：ＩＦ＝ＦＨ：ＨＧ＝②：③
（内角に●を含む直角三角形の辺の比は２：３）

Ｈの位置を特定するには∠ＧＨＥ＝90°に触れる必要があるので、
ＧＨを１辺とする直角三角形と∽にあたる図形を考える。
そこで、ＡＤとＢＥを延長し、交点をＫとする。
△ＡＢＫ∽△ＤＥＫより、ＡＢ：ＤＥ＝２：１からＤＫ＝４ｃｍ
△ＡＢＫ∽△ＨＧＫより、ＢＡ：ＡＫ＝ＧＨ：ＨＫ＝１：２→ＨＫ＝⑥

ＡＦを延長、ＢＣとの交点をＬとする。
ＡＤ//ＢＣの錯角で、∠ＡＬＢ＝●
△ＡＢＬは内角に●を含む直角三角形だから、ＡＢ：ＢＬ＝３：２
ＢＬ＝４×２/３＝８/３ｃｍ
△ＡＦＫ∽△ＬＦＢより、ＡＫ：ＬＢ＝８：８/３＝３：１だから、
ＫＢ＝⑧×４/３＝〇32/３
ＥはＢＫの中点なので、ＥＢ＝〇32/３÷２＝〇16/３
したがって、ＨＦ：ＥＢ＝②：〇16/３＝３：８
ＨＦはＥＢの３/８倍。
*良い解法を見つけた方は、コメント欄かお問い合せよりお知らせ願います。

＠別解＠
お助けマンさんから素晴らしい別解を頂きました。

外側延長は同じです。交点をＩとします。
前問より、ＦＥ＝√５ｃｍ、ＥＩ＝ＢＥ＝２√５ｃｍなので、ＦＩ＝３√５ｃｍ
△ＡＦＩ∽△ＦＧＩより、ＦＩ：ＡＩ＝ＧＩ：ＦＩ
３√５：８＝ＧＩ：３√５→ＧＩ＝45/８ｃｍ

今度は△ＧＨＩ∽ＥＤＩで、ＧＩ：ＥＩ＝ＩＨ：ＩＤ
45/８：２√５＝ＩＨ：４→ＩＨ＝９√５/４ｃｍ
ＨＦ＝ＩＦ－ＩＨ＝３√５－９√５/４＝３√５/４ｃｍ
ＨＦ÷ＥＢ＝３√５/４÷２√５＝３/８
*計算がやや大変ですが、前問の流れからこちらが想定解かと思われます。

（３）①

直径に対する円周角より、∠ＡＣＢ＝∠ＡＤＢ＝90°
ＣＡ＝ＣＢから、△ＡＢＣは直角二等辺三角形。
辺の比は１：１：√２→ＡＢ＝６√２ｃｍ

ＢＤ＝ｘとすると、ＡＤ＝３ｘ
△ＤＡＢで三平方→ｘ²＋（３ｘ）²＝（６√２）²
10ｘ²＝72
ｘ²＝36/５　（←あとで使います）
ｘ＞０より、ｘ＝６√５/５

△ＤＡＢの面積は、ｘ×３ｘ÷２
＝３/２ｘ²
＝３/２×36/５
＝54/５ｃｍ²

②

回転体の高さはＡＢ＝６√２ｃｍとわかっている。
Ｅから垂線をおろし、足をＨとする。ＥＨが知りたい。

△ＢＤＡ∽ＥＨＡより、ＢＤ：ＤＡ＝ＥＨ：ＨＡ＝①：③
△ＥＨＢは内角より直角二等辺→ＨＢ＝①
ＥＨ＝６√２×①/④＝３√２/２ｃｍ
回転体の体積は、（３√２/２）²π×６√２÷３＝９√２πｃｍ³