問題ＰＤＦ
下の図１において、△ＡＢＣは鋭角三角形であり、点Ｏは△ＡＢＣの３つの頂点Ａ、Ｂ、Ｃを通る円の中心である。∠Ａの二等分線と円Ｏとの交点のうち、頂点Ａと異なる点をＰとする。
〔問１〕
下の図２は、図１において、線分ＡＰと線分ＢＣとの交点をＤとし、頂点Ｂと点Ｐを結んだ場合を表している。ＡＢ＝６ｃｍ、ＡＣ＝８ｃｍ、ＢＤ＝３ｃｍ、ＢＰ＝４ｃｍであるとき、線分ＤＰの長さは何ｃｍか。
〔問２〕
下の図３は、図１において、∠Ｂの二等分線と円Ｏとの交点のうち、頂点Ｂと異なる点をＱとした場合を表している。ただし、∠Ａの二等分線と∠Ｂの二等分線は、円の中心Ｏでは交わらないものとする。
（１）
図３において、頂点Ａを含む弧ＢＱに対する円周角の大きさと、頂点Ｂを含む弧ＡＰに対する円周角の大きさが等しくなるとき、△ＡＢＣはどのような三角形になるか答えよ。ただし、答えだけでなく、答えを求める過程が分かるように、途中の式や計算なども書け。
（２）
図３において、頂点Ａを含む弧ＢＱに対する円周角の大きさと、頂点Ｃを含む弧ＡＰに対する円周角の大きさが等しくなるとき、∠ＡＣＢの大きさは何度か。
＠解説＠
〔問１〕
角の二等分線の定理より、ＡＢ：ＡＣ＝ＢＤ：ＤＣ＝３：４
ＤＣ＝３×４/３＝４ｃｍ
弧ＡＢに対する円周角より、∠ＡＣＢ＝∠ＡＰＢ
弧ＰＣに対する円周角より、∠ＰＡＣ＝∠ＰＢＣ
△ＡＣＤ∽△ＢＰＤで、ＡＣ：ＤＣ＝ＢＰ：ＤＰ＝２：１
ＤＰ＝４÷２＝２ｃｍ
〔問２〕（１）
円周角が等しい⇒弧ＢＱ（青）と弧ＡＰ（赤）の長さが等しい。
共通部分である弧ＡＢをひくと、弧ＡＱ＝弧ＢＰが導ける。
弧の長さが等しいので、∠ＡＢＱ＝∠ＢＡＰ（前図の●と×が等しい）
∠ＣＡＢ＝∠ＣＢＡ（●●）
△ＡＢＣは２つの底角が等しいから、ＣＡ＝ＣＢの二等辺三角形となる。
（２）
弧ＡＰが前問と異なる点に注意！
円周角が等しい→弧ＢＱ＝弧ＡＰ
共通部分の弧ＡＱをひくと、弧ＡＢ＝弧ＰＱ
ここで、弧ＰＱを弧ＰＣと弧ＣＱに分けて考える。
弧ＰＣに対する円周角→∠ＰＡＣ＝●
弧ＣＰに対する円周角→∠ＣＢＱ＝×
弧ＰＱに対する円周角は●＋×となる。
弧ＡＢ＝弧ＰＱより、弧ＡＢに対する円周角である∠ＡＣＢ＝●＋×
△ＡＢＣの内角に注目すると、（●＋×）×３＝180°だから、
∠ＡＣＢ＝●＋×＝180÷３＝60°
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