2020年度 市川高校過去問【数学】大問3解説

1辺の長さが1の立方体を積み重ねて直方体を作り、
この直方体に含まれる様々な大きさの立方体の個数について考える。

例えば、上の図のような、3辺の長さがそれぞれ2、3、2の直方体に含まれる立方体の個数は、1辺の長さが1の立方体が12個、1辺の長さが2の立方体が2個、1辺の長さが3以上の立方体が0個であるから、全部で14個である。
(1)
3辺の長さがそれぞれn、n、4の直方体について、次の問いに答えよ。
ただし、nは4以上の自然数とする。
①この直方体に含まれる1辺の長さが2の立方体の個数をnを用いて表せ。
②この直方体に含まれる様々な大きさの立方体の個数が全部で500個であるとき、nの値を求めよ。

(2)
一般に、nが自然数のとき、


が成り立つことが分かっている。
例えば、n=5のとき、

である。
ここで、3辺の長さがそれぞれn、n、nの立方体について、この立方体に含まれる様々な大きさの立方体の個数が全部で44100個であるとき、nの値を求めよ。


@解説@
(1)①

1辺が4のとき、隣り合う2つのペアは3個。
式で書けば、4-1=3個
同様に、1辺が5ならば5-1=4個、1辺が6ならば6-1=5個…
1辺がnならばn-1個。
1辺がn×n×4の直方体に含まれる個数は、(n-1)×(n-1)×3=3(n-1)2


直方体の1辺の長さが4ということは、立方体の1辺の長さは1~4の範囲。
◆立方体の1辺が1
立方体の個数は、n×n×4=4n2

◆立方体の1辺が2
前問より、3(n-1)2

◆立方体の1辺が3
前問と同様に考える。

今度は-1ではなく、-2になる!
(n-2)×(n-2)×2=2(n-2)2

◆立方体の1辺が4
今までの流れから-3。
(n-3)×(n-3)×1=(n-3)2

4n2+3(n-1)2+2(n-2)2+(n-3)2
=4n2+3n2-6n+3+2n2-8n+8+n2-6n+9
=10n2-20n+20=500
10n2-20n-480=0 ←すべてを÷10
2-2n-48=(n-8)(n+6)=0
n>0ゆえ、n=8
8個

(2)
今度はどの辺の長さもnである立方体。
今までの規則を利用しよう(ノ)`ω´(ヾ)

1辺が1→n3
1辺が2→(n-1)3
1辺が3→(n-2)3

1辺がn-2→33
1辺がn-1→23
1辺がn→13
3+23+33・・・+(n-2)3+(n-1)3+n3=44100

ここで問題文で提供された公式にあてはめる。
{1/2×n×(n+1)}2=44100=441×100=212×102=2102
1/2n(n+1)=210 ←両辺2倍
2+n=n(n+1)=420
連続する2数の積が420→20×21=420
n=20

@総和を求める公式@
1乗和の公式(1+2+・・・n)=n(n+1)/2
2乗和の公式(1×1+2×2・・・n×n)=n(n+1)(2n+1)/6

2乗和は高校数学で習いますが、浅野中学で求め方が出題されたのでそちらを参照してください。

2019年度 浅野中学過去問【算数】大問2解説

3乗和の公式(1×1×1+2×2×2+n×n×n)={n(n+1)/2}2
3乗和は1乗和の値を2回かけるだけで出せてしまう。
(ex.1~20までの3乗和の場合。1~20の1乗和が210だから、3乗和は210×210=44100)
3乗和でも幾何的な発想で公式を導くことができます。
詳しくはコチラ→ロボット・IT雑食日記

3乗和が1乗和の2乗。
2乗ということは正方形の面積で考える。
1×1×1が青の正方形。
2×2×2は2×2の正方形が2つあり、1つを半分にわけてくっつけると、
青+緑の正方形の面積となる。
3×3×3は3×3の正方形を3つくっつける(オレンジ)。
4×4×4は4×4の正方形が4つあり、1つを半分にわけてくっつける(赤)。

全体の正方形をみると、1辺が1の正方形、1+2の正方形、1+2+3の正方形、1+2+3+4の正方形…と広がっていくので、3乗和は1乗和の2乗となる。
なかなかおもろい発想ですな(*’ω’*)
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