2019年度 智弁学園和歌山中学入試問題【算数】大問10解説

下の図のようなマスがあり、マスの中に次のルール①~④にしたがって
4個の整数ア、イ、ウ、エを記入します。

①4個の整数はすべて異なります。
②アは4個のうちでもっとも大きい数です。
③イとウはアの約数です。ただし、イはウより大きい数です。
④エはイとウの公約数です。

次の問いに答えなさい。
(1)
ア、イ、ウ、エの和がもっとも小さくなるとき、アは何ですか。

(2)ア、イ、ウ、エの和が100になるように記入する方法は何通りかあります。
それらの中でアをもっとも小さくしようと思います。
アは何にすればよいですか。


@解説@
70分試験で大問10個なので、時間との勝負です。
(1)
大小関係はア>イ>ウ>エとなる。
4つの数の和を最も小さくするには、アが最小の値になればいい。
イ・ウがアの約数で、エがイ・ウの公約数だから、イ・ウ・エはアの約数
自身以外で異なる3つの約数がはじめてでてくる数は6。
〔ア=6、イ=3、ウ=2、エ=1〕公約数(約数)は1でも可!
よって、6。

(2)
アの約数が複数個ある場合、イ・ウはそのなかから選ぶことができる。
同様に、イ・ウの公約数が複数ある場合、エもいずれから選ぶことができる。

アを最も小さくするので、指針としてはイ・ウ・エの合計を大きくする
アの約数のなかでアの次に最も大きい約数はア÷2。次点がア÷3。
つまり、アは6の倍数で、イ=ア÷2、ウ=ア÷3とする。

ア=36、イ=18、ウ=12、エ=6
→合計72  足りない!
エ=ウ×2、ウ+エ=イ、イ+ウ+エ
=アだから、
アが50近くになれば、和が100に近づくかもしれない。
アを+12してみる。

ア=48、イ=24、ウ=16、エ=8
→合計96  おしい!

ここで+6をする。
ア=54、イ=27、ウ=18、エ=9
→合計108  超過・・
しかし、イ・ウの公約数エを1にすれば、ちょうど100になる。
よって、アは54。
試しに、アに49~53をいれても100は作れません。
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