問題ＰＤＦ
下の図のようなマスがあり、マスの中に次のルール①～④にしたがって
４個の整数ア、イ、ウ、エを記入します。
①４個の整数はすべて異なります。
②アは４個のうちでもっとも大きい数です。
③イとウはアの約数です。ただし、イはウより大きい数です。
④エはイとウの公約数です。
次の問いに答えなさい。
（１）
ア、イ、ウ、エの和がもっとも小さくなるとき、アは何ですか。
（２）ア、イ、ウ、エの和が100になるように記入する方法は何通りかあります。
それらの中でアをもっとも小さくしようと思います。
アは何にすればよいですか。
＠解説＠
70分試験で大問10個なので、時間との勝負です。
（１）
大小関係はア＞イ＞ウ＞エとなる。
４つの数の和を最も小さくするには、アが最小の値になればいい。
イ・ウがアの約数で、エがイ・ウの公約数だから、イ・ウ・エはアの約数。
自身以外で異なる３つの約数がはじめてでてくる数は６。
〔ア＝６、イ＝３、ウ＝２、エ＝１〕公約数（約数）は１でも可！
よって、６。
（２）
アの約数が複数個ある場合、イ・ウはそのなかから選ぶことができる。
同様に、イ・ウの公約数が複数ある場合、エもいずれから選ぶことができる。
アを最も小さくするので、指針としてはイ・ウ・エの合計を大きくする。
アの約数のなかでアの次に最も大きい約数はア÷２。次点がア÷３。
つまり、アは６の倍数で、イ＝ア÷２、ウ＝ア÷３とする。
ア＝36、イ＝18、ウ＝12、エ＝６
→合計72 足りない！
エ＝ウ×２、ウ＋エ＝イ、イ＋ウ＋エ＝アだから、
アが50近くになれば、和が100に近づくかもしれない。
アを＋12してみる。
ア＝48、イ＝24、ウ＝16、エ＝８
→合計96 おしい！
ここで＋６をする。
ア＝54、イ＝27、ウ＝18、エ＝９
→合計108 超過・・
しかし、イ・ウの公約数エを１にすれば、ちょうど100になる。
よって、アは54。
試しに、アに49～53をいれても100は作れません。
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