2019年度 石川県公立高校入試問題【数学】解説

平均49.6点

記述問題が多く、配点も大きいです。
問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合)

(1)ア
5-(-2)
=5+2=7


-2×(-3
2+4
=-18+4=-14


2x32÷1/2xy2
=4x2


(a+2b)/3-(a-b)/2
={2(a+2b)-3(a-b)}/6
=(-a+7b)/6


√12-3√2÷√6
=2√3-√3=√3

(2)
2x2-3x-1=0
因数分解できんので、解の公式。
x=(3±√17)/4

(3)
積が5→少なくとも1つが5。
(大、小)=(1、5)(2、5)(3、5)(4、5)(6、5)
これらの反対の組み合わせもOK。
これに(5、5)を加え、計11通り。
全体は、6×6=36通り
11/36

(4)
yの変域に負の数がでてくるので、傾きaは負。
x=2のとき、最小値y=-12(x=0のとき、最大値y=0)
x=2、y=-12をy=ax2に代入。
-12=4a
a=-3

(5)
10人の中央値は、5番目と6番目の平均値。

線分図で整理。差が4なので、中央値から2離れている。
5番目が23で、6番目が27。

11人の中央値は、(11+1)÷2=6番目の生徒の値。
Aは28回なので、6番目は27回→中央値は27。

大問2(動点)

(1)
PとQが
Aにいるとき、正六角形の1周である6m離れている。
動き始めると、1秒で3cmずつあいだが縮まるので、
6÷3=2秒後に出会う。

(2)
説明も記述する(図、表も用いてOK)。
1秒後にPとQはCで重なる。
前問より2秒間隔で重なるので、
重なる点を調べると【C→A→E→C→A→E…】とループする。
Cから2周して(12m動いて)再びCで重なる。
Pが動く長さは、2、2+12×1、2+12×2、2+12×3…
Cでn回出会うとき、Pの動く長さは、2+12(n-1)=12n-10

大問3(数量変化)

(1)
基本料金…1000円
使用量ごとの料金…20円×4m3=80円
計1080円

(2)
(20、2200)と(30、3700)が通る式を求める。
変化の割合a=(3700-2200)/(30-20)=150
y=ax+bにa=150、x=20、y=2200を放り込む。
2200=150×20+b
b=-800
y=150x-800

(3)
条件にそった料金設定を考える。過程も記述する。
基本料金を700円にし、B市での水道料金と比較して、
20m3~30m3まではB市より高く、30m3~はB市よりも安く設定する。
20m3未満は考えない!

出発点は(0、700)。
これと(20、2200)を通る直線と(30、3700)を通る直線の内側にあればいい。
(0、700)→(20、2200)
(2200-700)/20=75
(0、700)→(30、3700

(3700-700)/30=100
傾きが75より大きく100より小さい範囲にあればよい
使用量ごとの料金でいえば、1m3あたり75円より高く100円より安くすればいい。


大問4(方程式)

方程式の説明記述。
問題文では小麦粉と売り上げの話しかないので、それ以外の情報は見ない。
ドーナツをx個、カップケーキy個で連立を組む。
40x+30y=4000
100x+150y=15400
これを解いて、x=46、y=72
ドーナツ…46個、カップケーキ…72個
*配点が10点で、立式ができれば答えもでやすいので取りこぼしたくない。

大問5(作図)

①AP=CP
⇒ACの垂直二等分線上にPがある。

②直径BPの円周上にCがある
→円周角の定理から、直径に対する円周角は直角→∠BCP=90°
⇒Cを通りBCに垂直な直線をひく。

2本の直線の交点が点Pとなる。
*配点は8点。BPを直径とした円の円周にCを描いてみると、②は思いつきやすい。

大問6(平面図形)

(1)

平行四辺形の対角は等しい。
∠ADC=60°
∠EDC=60-21=39°
△CDEの内角で、∠CED=180-(39+41)=100°

(2)
△GCD∽△QPFの証明。


辺の情報が乏しいので、角度を操作する。
2組の平行線から同位角と錯角を利用して2角が等しい→∽
∠FQP=∠QGA=∠DGC(同位角⇒対頂角)でもOK!

(3)
ここも途中式を解答する。
まずは作図。
CP+PDが最短→反射の問題は対称移動させて直線
ABを対称の軸として、Cの移動先をC’とおく。


↑正確な図ではありません(;^ω^)
C’DがCP+PDの最短距離にあたる(C’DとABとの交点がP)。
∠ABC=60°を活用する。
対応する点CとC’を結んだ線分と対称の軸ABは垂直に交わる
30°-60°-90°の直角三角形を発見。
1:2:√3から、4×√3/2=2√3
CC’=2√3×2=4√3

平行四辺形の内角である∠BCDは、180-60(∠ABC)=120°
∠C’CD=120-30=90°
△C’CDで三平方。
C’D=√(4√32+62)=√84=2√21cm


大問7(立体図形)

(1)
AB以外の横線が答え。
辺DC、辺EF、辺HG。

(2)
四角形CPEQの各辺を斜辺とする、外側にある4つの直角三角形に刮目<●><●>カッ

どれも3cmと1cmで、2辺とあいだの角が同じ。
△PCD≡△EPH≡△QEF≡△CQB
ということは、四角形CPEQは菱形
菱形の面積は、対角線×対角線÷2。

直方体(各辺の長さa、b、c)の対角線の長さ⇒√(a2+b2+c2
CE=√(32+12+42)=√26cm

PQを対角線とする直方体の高さは、4-1-1=2cm
PQ=√(32+12+22)=√14cm

したがって、√26×√14÷2  ←2を√4にすると根号付きで約分可。
=√26×√14÷√4
√91cm

(3)
途中式の書き込みあり。
処理は図形の分割⇒計算だけだが、まぐれ当たりの防止か?(゚Д゚)

上のように、四角錘と三角錐に分ける。
(3+4)×3÷2×1÷3+3×1÷2×1÷3
=4cm3

@別解@
柱体の斜め切断は、【底面積×高さの平均】で体積が求められる

高さの平均…(3+4+1)÷3=8/3
底面積は、3×1÷2=3/2
3/2×8/3=4cm3

グラフ問題が印象深い。
7(2)の対角線は、長方形をすぐに書けるようにした方がいいかも。
最後の説明要求は、やっぱいらんような(*’ω’*)w

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