2020年度 東京都市大学付属中学入試問題【算数】大問3解説

下の【図1】は1辺の長さが3cmの正三角形を4つ組み合わせてできた三角すいで、
【図2】は、1辺の長さが1cmの正三角形を4つと、
1辺の長さが1cmの正六角形を4つ組み合わせてできる立体の展開図です。
あとの問いに答えなさい。

問1
【図2】を組み立ててできる立体の体積は、【図1】の三角すいの体積の何倍ですか。

問2
【図2】を組み立ててできる立体を、点A、B、Cを通る平面で切り、
大きい立体と小さい立体に分けました。
このとき、(大きい立体の体積):(小さい立体の体積)を、最も簡単な整数の比で表しなさい。

問3
問2で2つに分けた立体について、(大きい立体の表面積):(小さい立体の表面積)を、
最も簡単な整数の比で表しなさい。


@解説@
問1

↑これを作図できないと全て落としてしまう(;`ω´)
1辺3cmの正三角錐の4つの頂点で、1辺1cmの正三角錐を切り落とす。
すると、4つの正三角形、4つの正六角形で構成される八面体ができあがる。
初見だとややこしい図形だが、中学受験生であればどこかのタイミングで触れておきたい。

1辺3cmの正四角錘の体積を3×3×3=27とすると、
うえの図形の体積は、27-1×1×1×4=23
よって、23/27倍。

問2

点の位置は正確に!
底面の正六角形でBとC、側面の正六角形でCとAは対極にある。
A・B・Cを通る断面は正三角形となる。


小さい立体の体積は、1辺2cmの正四角錘ABCDから①をひく。
小=2×2×2-①=⑦
大=3×3×3-(①×4+⑦)=⑯
大:小=16:7

問3

正三角形の個数を数えていく。
小=1+3×3+4=14
大=1×3+3×3+4+6=22
大:小=22:14=11:7
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