2018年度 久留米大学附設中学入試問題【算数】大問5解説

体積が180cm3の正四面体OABCがあり、
辺OA、辺OB、辺OCの中点をそれぞれP、Q、Rとします。

(1)
3点P、B、Cを含む平面と、3点Q,A、Cを含む平面の2つの平面でこの立体を切り分けるとき、頂点Oを含む立体について、(ア)面の数(イ)辺の本数(ウ)頂点の数(エ)体積をそれぞれ答えなさい。

(2)
3点P、B、Cを含む平面と、3点Q、A、Cを含む平面と、3点R、A、Bを含む平面の3つの平面でこの立体を切り分けるとき、頂点Oを含む立体について、(オ)面の数(カ)辺の本数(キ)頂点の数(ク)体積をそれぞれ答えなさい。


@解説@
(1)
問題文に正四面体が描かれていない。。

↑こうなります。
下はくの字に曲がり、四角錘になる。
(ア)面の数…5面(イ)辺の本数…8本(ウ)頂点の数…5個

錘なので、底面を四角形OPSQで捉える
四角形OPSQは正三角形OABの3分の1。(合同図形が3つある)
(エ)体積…180÷3=60cm3

(2)
さらに面RABで切断。

きれいに描かないと訳が分からなくなる(;’∀’)
120°ずつ分かれた3方向から中央下に向かって同じ角度で切断するので、
立体の下は1点に交わり、それはOの真下
(オ)面の数…6面(カ)辺の本数…12本(キ)頂点の個数
…8面

お分かり頂けるであろうか(;^ω^)
同じパーツを4つ作り、O・A・B・C方向からパカッとはめ込むと正四面体OABCになる。
(ク)体積…180÷4=45cm3
*難関校特訓クラスでは演習で経験するのかもしれませんが、
高度な空間認識能力と作図力が問われる難問ですな:( ´ω` ):
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