2023年度　市川中学過去問【算数】大問５解説

問題ＰＤＦ
下の図のように、マス目に以下の手順で記号〇、●を入れていきます。

・１番上の行のマス目にはすべて〇を入れる。
・１番左の列のマス目にはすべて〇を入れる。
・それ以外のマス目には、左のマス目と上のマス目に同じ記号が入っているときは●を、
　異なる記号が入っているときは〇を入れる。

例えば、２行目２列目のマス目には、左のマス目にも上のマス目にも〇が入っているため、
●を入れます。

このとき、次の問いに答えなさい。

（１）
４行目４列目までの16個のマス目には〇と●がどのように入れられるか。
[解答欄]の空らんの部分に〇、●をかきなさい。

（２）
16行目16列目までの256個のマス目に〇と●を入れたとき、
その中に含まれる〇の個数を求めなさい。

（３）
[　あ　]行目[　あ　]列目までのマス目に〇と●を入れると、〇の個数が1000個以上になります。
[　あ　]にあてはまる数の中で、最も小さいものを求めなさい。

＠解説＠
（１）

条件に従って埋めていく。上と左が同色で●になる。
ここを間違えると、うしろも解けないので慎重に！

（２）

いきなり16行目16列目はわからないので、問題文の８行目８列目まで埋めてみよう。
１行目と１列目はすべて〇。２行目２列目は〇と●が交互になる。
埋めていくと、５行目と５列目で〇がストレートに４つ並ぶ。
〇か●かは上と左に依存するので、〇が４連続する赤線を頼りに考えると、
（１）の４×４と同じ模様が現れる。
しかし、５行目５列目は●となり、右下の４×４だけは全部●になる。
同じ模様が右下以外の３ヶ所にできる。

次の９行目９列目をやってみると、こんな感じになる。
〇がそろってリセットされるようで、５行目５列目と様相が似ている…。
８×８を１つの模様として、今度は右と下に同じ模様が、右下に黒だけが連なるのでは？

これを想像できるかどうか。
（１）の解答をよくみると、４×４の中でも２×２で区切ると同じ模様が浮かんでみえる。
16×16を試験会場で書くのはさすがに困難だが、
同じ模様が連続して現れる自己相似（フラクタル）だとすれば光が見えてくる。

同じ模様が３ヵ所出現⇒〇の数を３倍していく。
２×２…３個
４×４…３×３＝９個
８×８…９×３＝27個
16×16…27×３＝81個

（３）
続きをやると、
32×32…81×３＝243個
64×64…243×３＝729個
次で1000を超えるので、１行１列ずつチェックしていく。

65行目65列目は右下以外すべて〇。（５行目５列目の様子を見るとわかりやすいかも）
729＋64×２＝857個

66行目66列目は〇●〇●…が続く。
４個中２個が〇→64÷２＝32個が２つ分。
857＋32×２＝921個

67行目67列目は〇〇●●…がつづく。
先ほどと同様に４個中２個なので、921＋64＝985個
68行目68列目は〇●●●…がつづく。
４個中１個なので、32÷２＝16個が２つ分。
985＋16×２＝1017個
したがって、答えは68。

＠余談＠
本問は有名なフラクタル図形の亜種にあたる。

ガスコン研究所より。
頂点に１。以下、両端に１を置いて、左上と右上の数字の和を下に書いていく。
数学の世界では名の知れたパスカルの三角形で、奇数だけを塗りつぶすとフラクタルがあらわれる。

見たことある人いるんじゃないかな？
シェルピンスキーのギャスケットといいます。

市川の問題を斜めで見ると、左上部分がシェルピンスキーのギャスケットになります。

気持ち悪い(´°ω°`;)

シェルピンスキーは四面体もあります。
上図は四面体の内部の方に色が塗られています。
フラクタルってなんか人を不安にさせますね…。
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