問題ＰＤＦ
図のような、点Ｏを中心としてＡＢを直径とする円の周上を、点Ｐは時計回りに、点Ｑは反時計回りにそれぞれ一定の速さで動きます。２つの点はＡを同時に出発し、点Ｐは点Ｑの４倍の速さで進みます。図の（あ）は、点ＱがＡから動いたときの、円の半径ＯＡとＯＱの間の角を表します。（あ）の大きさは、０度から360度までを考えるものとして、以下の問いに答えなさい。
（１）
次の空欄ア、イに入る数を答えなさい。
２点Ｐ、ＱがＡを同時に出発した後で、１回目に重なったときの（あ）の大きさは〔 ア 〕度です。その後、２点が何回か重なった後、初めてＡで重なるのは、２点が〔 イ 〕回目に重なったときでした。
（２）
２点がＡを同時に出発した後、初めてＡで重なるまでに、点Ｐと点Ｑを結んでできる直線が、円の直径ＡＢと平行になるときが２回あります。このときの（あ）の大きさを小さい順に答えなさい。ただし、直線ＰＱが直径ＡＢと重なるときは平行ではないとします。
（３）
２点がＡを同時に出発した後、初めてＡで重なるまでに、点Ｐと点Ｑを結んでできる直線が、円の直径ＡＢと垂直になるときが２回あります。このときの（あ）の大きさを小さい順に答えなさい。
（４）
Ａと（２）で求めた２か所の点Ｑの位置を結んでできる三角形の面積と、Ａと（３）で求めた２か所の点Ｑの位置を結んでできる三角形の面積の比を最も簡単な整数の比で答えなさい。
＠解説＠
（１）
Ｐが進んだ距離を④とすると、Ｑの距離は①
∠ＡＯＱ＝360×①/⑤＝72°
２点が同じ場所からスタートして、Ｑが反時計回りに72°進むたびにＰと出会う。
ＱがＡに戻るまでにＰと360÷72＝５回出会い、５回目の出会いがちょうどＡ。
ア…72、イ…５
（２）
１回目の出会い（72°）よりも前で、ＡＢとＰＱが平行になる。
だいたい上図のあたり。
ＡとＢ、ＰとＱが対応するように線対称で分ける。
ＡＱ＝ＢＰ＝①
半周の180°が③なので、∠ＡＯＱ＝180×①/③＝60°
ＡＢとＰＱが平行になるのは『２回』しかない。
５回目の出会いがＡなので、ここから逆再生した場合も平行になる。
すなわち、Ａから時計回りにＱが①、反時計回りにＰが④進んだ場所である。
求めるのは反対側の角だから、∠ＡＯＱ＝360－60＝300°
60°、300°
（３）
Ｐはいち早くＢに到達して下半分に来てしまうので、
１周目ではＡＢとＰＱは垂直にならない。
ＰとＱが出会い、Ｐが２周目で再び上半分にきたときから２回目の出会いまでに垂直となる。
上下対称でＡＱ＝ＡＰ＝①
Ｐは④進むから、１周の長さは④－①＝③
∠ＡＯＱ＝360×①/③＝120°
ここも垂直は『２回』だけだと情報提供してくれているので、
先ほどのようにゴールのＡから逆再生する。
∠ＡＯＱ＝360－120＝240°
120°、240°
（４）
Ｑの位置を記す。
中心角をみると、Ａ・Ｂ・Ｑ×４個が円周を６等分している。
正六角形を描くと、典型的な分割が見える。
赤：青＝１/６：１/２＝１：３
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