2019年度 明治大学付属明治中学入試問題【算数】大問3解説

下の図のように、すべて辺の長さが10cmの四角すいOABCDがあります。
辺OB、ODをともに3:2に分ける点をそれぞれP、Qとします。
四角すいOABCDを3点A、P、Qを通る平面で切ったとき、
その平面と辺OCが交わる点をRとします。

(1)
ORの長さは何cmですか。

(2)
四角すいOAPRQの体積と四角すいOABCDの体積の比を、
最も簡単な整数の比で表しなさい。
ただし、三角すい、四角すいの体積は(底面積)×(高さ)÷3で求められます。


@解説@
(1)
初見ではキツイか(;`ω´)
△OACを正面に捉えると、PルートとQルートが直線でかぶる。

右に書いてあるメネラウスの定理を使う。
3/2×1/2×CR/RO=1
CR:RO=4:3
OR=10×3/7=30/7cm
*メネラウスの定理はサボも中学受験時代に塾で習ったので、
今の子たちもぜひ使えるようにして欲しい。

(2)
O-APRQを面OPQで2つに分割する。

正四角錘O-ABCDの体積を1とすると、A-OBDはその半分。
A-OBD:A-OPQの体積比は、△OBD:△OPQで25:9。
A-OPQ=1×1/2×9/25=9/50

C-OBDも全体の半分。
△OBD:△OPQ=25:9も同様。
高さは、OC:OR=7:3
R-OPQ=1×1/2×9/25×3/7=27/350

よって、O-APRQ=9/50+27/350=9/35
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note書いています(*'ω'*)
入試問題を題材にした読み物や個人的なことを綴っていこうと思います。
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