2019年度 明治大学付属明治中学過去問【算数】大問3解説

下の図のように、すべて辺の長さが10cmの四角すいOABCDがあります。
辺OB、ODをともに3:2に分ける点をそれぞれP、Qとします。
四角すいOABCDを3点A、P、Qを通る平面で切ったとき、
その平面と辺OCが交わる点をRとします。

(1)
ORの長さは何cmですか。

(2)
四角すいOAPRQの体積と四角すいOABCDの体積の比を、
最も簡単な整数の比で表しなさい。
ただし、三角すい、四角すいの体積は(底面積)×(高さ)÷3で求められます。


@解説@
(1)
初見ではキツイか(;`ω´)
△OACを正面に捉えると、PルートとQルートが直線でかぶる。

右に書いてあるメネラウスの定理を使う。
3/2×1/2×CR/RO=1
CR:RO=4:3
OR=10×3/7=30/7cm
*メネラウスの定理はサボも中学受験時代に塾で習ったので、
今の子たちもぜひ使えるようにして欲しい。

(2)
O-APRQを面OPQで2つに分割する。

正四角錘O-ABCDの体積を1とすると、A-OBDはその半分。
A-OBD:A-OPQの体積比は、△OBD:△OPQで25:9。
A-OPQ=1×1/2×9/25=9/50

C-OBDも全体の半分。
△OBD:△OPQ=25:9も同様。
高さは、OC:OR=7:3
R-OPQ=1×1/2×9/25×3/7=27/350

よって、O-APRQ=9/50+27/350=9/35
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