2019年度 攻玉社中学入試問題【算数】大問2解説

下の図のように、1番目の円周上に順に1、2、3の3つの数を並べます。
2番目の円周上には、1番目の円周上のとなり合う数どうしを足した数を、
もとの2つの数の間に並べます。このように、となり合う数どうしを足して
円周上に3つの数を並べるという操作をくり返していくとき、次の問いに答えなさい。

(1)
図のア~ウに入る数を求めなさい。

(2)
9番目の円周上の数の和を求めなさい。

(3)
12番目の円周上の数の和と13番目の円周上の和の比を求めなさい。

(4)
1000番目の円周上の数の中で、最も大きい数の一の位の数を求めなさい。


@解説@
(1)
始めはとっかかりをつかむために書いてみる。

ア…8、イ…255、ウ…257
*並びをみると、2のベキ乗(2・4・8・16…)が必ず登場する
他2つの数字は2のベキ乗の前後の数。
奇数番目では、上が最も小さく、反時計回りに大きくなる。
偶数番目では、左上が最も小さく、時計回りに大きくなる。
ということは、問題の8番目では256(28)が右上にあるので、
その前後の整数である、イ=255、ウ=257となる。

(2)

円周上の数の和は2倍ずつ増えている。
768×2=1536
*9番目の円周上の数を3つ出して和を求めてもOK。

(3)
前問の通り。
和が2倍になるので1:2。

(4)
2のベキ乗の1の位は、【2・4・8・6…】のループ。
1000÷4=125
1000番目の2のベキ乗(21000)の1の位は6。
その円周上で最も大きい数は1を足した数なので7となる。

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