問題ＰＤＦ
（図１）の三角形ＡＢＣは面積が98ｃｍ2の正三角形で、
ＢＤ：ＤＣ＝ＣＥ：ＥＡ＝ＡＦ：ＦＢ＝３：４です。つぎの問いに答えなさい。
①
三角形ＣＤＥの面積は何ｃｍ2ですか。
②
さらに（図２）のように、ＡＧ＝ＢＧ＝ＣＧとなる点Ｇをとります。
三角形ＧＤＨは正三角形です。角（あ）の大きさは何度ですか。
③
②で三角形ＤＥＦと三角形ＧＤＨの面積の比を最も簡単な整数の比で表しなさい。
④
②で三角形ＧＤＨの面積は何ｃｍ2ですか。
＠解説＠
①
△ＡＢＣ⇒△ＥＢＣ⇒△ＣＤＥ
98×３/７×４/７＝24ｃｍ2
②
△ＡＦＥと△ＢＤＦと△ＣＥＤは、２辺とあいだの角が等しく合同。
ＤＥ＝ＥＦ＝ＥＤで、△ＤＥＦは正三角形。
一方、ＡＧ＝ＢＧ＝ＣＧから、△ＡＢＧと△ＢＣＧと△ＣＡＧは３辺が等しく合同の二等辺。
ＡＧ、ＢＧ、ＣＧは正三角形ＡＢＣの３つの角の二等分線で、Ｇは重心（真ん中）に位置する。
ここで、Ｄ・Ｅ・Ｆが各々Ｂ、Ｃ、Ａから同じ速度で動く点だとする。
△ＡＦＥと△ＢＤＦと△ＣＥＤは合同なので、
ＢＤ＝ＣＥ＝ＡＦの関係は維持され、△ＤＥＦは常に正三角形である。
そして、正三角形の真ん中（重心）も常にＧにある。
Ｄ・Ｅ・Ｆを動かすとＤＧ、ＥＧ、ＦＧの長さは常に変化していくが、
３つの点は同じように動くので、外側（Ｄ側・Ｅ側・Ｆ側）の事情が変わってもＧは動かない。
△ＡＢＣと△ＤＥＦは重心を共有し、ＤＧ＝ＥＧ＝ＦＧが常に成り立つ。
△ＧＤＥは二等辺で、∠ＤＧＥ＝360÷３＝120°
（あ）＝（180－120）÷２＝30°
③
ＤＥとＨＧの交点をＩとする。
△ＧＤＨは正三角形で、△ＧＤＩと△ＨＤＩの内角は30°－60°－90°の直角三角形。
角度を調査すると△ＧＥＩの内角も同様で、ＤＨ＝ＧＤ＝ＧＥより△ＤＨＩと△ＥＧＩは合同。
△ＤＨＩを△ＥＧＩに移植すると、正三角形ＧＤＨの面積は二等辺三角形ＧＤＥとなり、
二等辺ＧＤＥの面積は正三角形ＤＥＦの３分の１。
したがって、△ＤＥＦ：△ＧＤＨ＝３：１
④
①で△ＣＤＥ＝24ｃｍ2と求めたので、
正三角形ＤＥＦ＝98－24×３＝26ｃｍ3
③より、△ＧＤＨはこの３分の１だから、26÷３＝26/３ｃｍ2
＠余談；オイラー線＠
外心Ｏ→三角形に外接する円の中心（３辺の垂直二等分線の交点）
重心Ｇ→頂点から対辺を中点を結んだ線（中線）の交点
垂心Ｈ→頂点から対辺に向けておろした垂線の交点
１つの三角形の３点Ｏ・Ｇ・Ｈは一直線上にあり、ＯＧ：ＧＨ＝１：２の関係が成立する。
この直線はオイラー線とよばれ、以下のリンク先に詳しい証明が記述されております。
高校数学の美しい物語
三角形の五心ではベクトルをつかった証明法が多数あがっているので、
高校にあがって習ったらチャレンジしてみて下さい。
ちなみに、正三角形は外心・重心・垂心が一致するので、オイラー線がない！
内接円の中心である内心も一致する。
難関中（算数科）解説ページに戻る
コメント