問題ＰＤＦ
次の【 ア 】～【 オ 】にあてはまる数を答えなさい。
（１）
図において、三角形ＡＥＧと三角形ＡＣＤは正三角形で、
三角形ＦＢＣはＦＢ＝ＦＣの二等辺三角形です。
図の角（あ）の大きさは【 ア 】度です。
（２）
図において、ＯＣの長さは【 イ 】ｃｍです。
また、（三角形ＯＡＢの面積）：（三角形ＯＤＥの面積）を
最も簡単な整数の比で表すと、【 ウ 】：【 エ 】です。
（３）
図において、●は正方形の各辺を３等分します。
このとき、正方形の面積は【 オ 】ｃｍ2です。
＠解説＠
後半はどこで相似を使うかが決め手。
（１）
ポイントは、△ＡＥＣ≡△ＡＧＤ。
２つの正三角形の辺と、∠ＣＡＥ＝∠ＤＡＧ＝60－14＝46°
２辺とあいだの角が等しいので合同になる。
△ＡＧＤで外角定理。
∠ＡＤＧ＝60－46＝14°
合同から、∠ＡＣＥ＝14°
△ＡＦＧの内角の和→対頂角で、∠ＢＦＣ＝180－（14＋60）＝106°
△ＦＢＣは二等辺三角形。
（あ）＝（180－106）÷２－14＝23°…ア
（２）
むずかしい:;(∩´＿`∩);:
ＯＣの長さが誘導になっている。
直角三角形は相似の宝庫！
∠ＢＯＡ＝180÷６＝30°
30°－60°－90°の直角三角形が複数みつかる。
Ｂからの垂線とＯＡの交点をＦとすると、ＡＦ＝４÷２＝２ｃｍ
ＯＦ＝８－２＝６ｃｍ
△ＢＯＦと△ＢＯＣは、斜辺を共有するので、
直角三角形の合同条件である斜辺と１鋭角から合同。
よって、ＯＣ＝６ｃｍ…イ
同様の手順で左に向かう。
ＣＧ＝６÷２＝３ｃｍ
Ｇから垂線、交点をＨとすると、ＨＣ＝３÷２＝1.5ｃｍ
ＯＨ＝６－1.5＝4.5ｃｍ
ＧＯを挟んで２つの合同な直角三角形から、ＩＯ＝4.5ｃｍ
ＤＩ＝4.5÷２＝2.25ｃｍ
Ｄから垂線、交点をＪ。
ＩＪ＝2.25÷２＝1.125ｃｍ
ＪＯ＝4.5－1.125＝3.375ｃｍ
ＤＯを挟んで合同→ＥＯ＝3.375ｃｍ
数値が酷いことに…。
ここからも難所。
△ＯＤＥは△ＯＡＢと異なり、斜辺の長さがわかっていない。
そこで、△ＯＩＤを経由する。
ＩＪ：ＪＯ＝1.125：3.375＝１：３
△ＤＩＪ＝①、△ＯＩＤ＝③。△ＯＤＥ＝③
△ＯＡＢと△ＯＩＤの辺の比は斜辺の長さから、
ＯＡ：ＯＩ＝８：4.5＝16：９
面積比は２乗。
△ＯＡＢ：△ＯＩＤ＝256：81
△ＯＩＤ：△ＯＤＥ＝④：③だから、
△ＯＤＥ＝81×３/４＝243/４
したがって、△ＯＡＢ：△ＯＤＥ＝256：243/４＝1024：243
1024…ウ、243…エ
計算力も問われるので、無理そうであれば捨ててもＯＫ。
（３）
正方形をカット。２組の平行線ができる。
相似比から２：１⇒３ｃｍを２ｃｍと１ｃｍに分割。
外側に４つの合同な直角三角形、中心に正方形。
１×３÷２×４＋２×２＝10ｃｍ2
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