2019年度 洛南高等学校附属中学入試問題【算数】大問2解説

次の【 ア 】~【 オ 】にあてはまる数を答えなさい。

(1)
図において、三角形AEGと三角形ACDは正三角形で、
三角形FBCはFB=FCの二等辺三角形です。
図の角(あ)の大きさは【 ア 】度です。

(2)
図において、OCの長さは【 イ 】cmです。
また、(三角形OABの面積):(三角形ODEの面積)を
最も簡単な整数の比で表すと、【 ウ 】:【 エ 】です。

(3)
図において、●は正方形の各辺を3等分します。
このとき、正方形の面積は【 オ 】cm2です。



@解説@
後半はどこで相似を使うかが決め手。
(1)

ポイントは、△AEC≡△AGD
2つの正三角形の辺と、∠CAE=∠DAG=60-14=46°
2辺とあいだの角が等しいので合同になる

△AGDで外角定理。
∠ADG=60-46=14°
合同から、∠ACE=14°

△AFGの内角の和→対頂角で、∠BFC=180-(14+60)=106°
△FBCは二等辺三角形。
(あ)=(180-106)÷2-14=23°…ア

(2)
むずかしい:;(∩´_`∩);:
OCの長さが誘導になっている。

直角三角形は相似の宝庫!
∠BOA=180÷6=30°
30°-60°-90°の直角三角形が複数みつかる。

Bからの垂線とOAの交点をFとすると、AF=4÷2=2cm
OF=8-2=6cm
△BOFと△BOCは、斜辺を共有するので、
直角三角形の合同条件である斜辺と1鋭角から合同
よって、OC=6cm…イ

同様の手順で左に向かう。
CG=6÷2=3cm
Gから垂線、交点をHとすると、HC=3÷2=1.5cm
OH=6-1.5=4.5cm
GOを挟んで2つの合同な直角三角形から、IO=4.5cm

DI=4.5÷2=2.25cm
Dから垂線、交点をJ。
IJ=2.25÷2=1.125cm
JO=4.5-1.125=3.375cm
DOを挟んで合同→EO=3.375cm

数値が酷いことに…。
ここからも難所。
△ODEは△OABと異なり、斜辺の長さがわかっていない。
そこで、△OIDを経由する

IJ:JO=1.125:3.375=1:3
△DIJ=①、△OID=③。
△ODE=③

△OABと△OIDの辺の比は斜辺の長さから、
OA:OI=8:4.5=16:9
面積比は2乗。
△OAB:△OID=256:81

△OID:△ODE=④:③だから、
△ODE=81×3/4=243/4
したがって、△OAB:△ODE=256:243/4=1024:243
1024…ウ、243…エ
計算力も問われるので、無理そうであれば捨ててもOK。

(3)

正方形をカット。2組の平行線ができる
相似比から2:1⇒3cmを2cmと1cmに分割。

外側に4つの合同な直角三角形、中心に正方形。
1×3÷2×4+2×2=10cm2
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