2018年度 攻玉社中学過去問【算数】大問4解説

図1について、三角形ABCと三角形XYZのそれぞれの辺、ABとXY、BCとYZ、CAとZXは平行です。AB=4cm、XY=14cmです。また、XA、YB、ZCを延長した線が交わる点をPとします。

(1)
PC=3cmのとき、CZの長さを求めなさい。

(2)
ACとBPが交わる点をQとします。
BQ:QP=1:3のとき、三角形XYZと三角形XPZの面積の比を求めなさい。

(3)
次に、図2のような三角すいを考えます。

PA:AX、PB:BY、PC:CZの比は等しいです。
AB=4cm、XY=14cm、点Pから三角形XYZまでの高さを12cm、
三角形XYZの面積を49cm2とします。

三角形ABCの面積を求めなさい。


三角すいPABCの体積を求めなさい。


さらに、図3のような、三角形XYZを底面とする三角柱を考えます。
点Pがこの三角柱の上の面の辺にそって動くと、
それにあわせて三角すいも形が変わるものとします。
点Pが上の面の三角形の辺にそって1周するとき、
三角形ABCが通った部分の面積を求めなさい。


@解説@
(1)

ABとXYが平行→△PABと△PXYが相似。
PB:BY=4:14-4=②:⑤
同様に、△PBCと△PYZも相似。
PC:CZ=PB:BY=②:⑤より、CZ=3×⑤/②=15/2cm

(2)

△ABCと△APCにおいて、底辺をACとすると高さの比はBQ:QP=1:3
→△ABCと△APCの面積比は1:3。

△PACと△PXZは相似←→
さらに、
△PABと△PXY、△PBCと△PYZも相似なので、
AB:XY=BC:YZ=AC:XZで3辺の比が等しく、
△ABCと△XYZが相似←→
ということは…△ABC:△APC=△XYZ:△XPZ=
1:3
(2つの三角形を合わせて、四角形ABCPと四角形XYZPが相似と捉えてもOK)
*平面だけど立体で考えたくなる…(´-`).。oO

(3)①
空間図形にチェンジ(σ・Д・)σ

PA:AX=PB:BY=PC:CZから、三角錐P-ABCと三角錘P-XYZは相似
底面積の△ABCと△XYZも相似。
辺の比は4:14=2:7
面積比は2×2:7×7=4:49
△ABCの面積は、49×4/49=4cm2



底面積がわかったので、高さをさぐる。
高さの比も2:7だから、12×2/7=24/7cm
三角錐P-ABCの体積は、4×24/7÷3=32/7cm3



三角柱を上から眺める。
△ABCを△XYZの内壁に沿って平行移動させる。
平行線を描くと、真ん中の部分が通過しない場所。
全体(49cm2)から真ん中の部分を引けばいい。

XY方面の比を、XZ方面の比をとする。
XD=AZ=だから、DA=
DZ=より、DG=
平行線からDE=FG=だから、EF=
△XYZ:△EFH=⑦×⑦:①×①=49:1
△XYZは49cm2なので、△EFHを除いた部分の面積は48cm2
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