2019年度 鹿児島県公立高校過去問【数学】解説

平均38.2点

問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合)-71.8%

(1)①  94.4%
5×(6-2)
=5×4=20   サービス問題!

②  90.6%
1/4+5/3÷10/9
=7/4

③  74.7%
2√7-√20+√5-7/√7
=2√7-2√5+√5-√7
=√7-√5

④  59.7%
2未満を選ぶ。
2は含まないので○。ウ

⑤  76.8%
x=4を代入して、等式が成り立つかを調べる。
ア・エ

(2)  75.8%

上と下の三角形で外角定理。
x=(
30+25)×2=110°

(3)  65.3%
最小値 x=3のとき、y=9
最大値 x=6のとき、y=36
変化の割合…(36-9)/(6-3)=9

*y=ax2のグラフであれば、xの値がpからqと増加するときの変化の割合はa(p+q)
1(3+6)=9

(4)  62.0%
高さが等しいので、円柱の体積の比は底面積の比。
円の面積は半径の2乗。
A:B=22:12=4:1
AはBの4倍。

(5)  46.7%
オクラって鹿児島が1位なんだね(゚Д゚)
高知 …1733t - 14.2%
鹿児島…5153t - ?%
基準となる高知を分母に据える。
【14.2×5153/1733】 → イ

大問2(小問集合2)-35.9%

(1)  25.1%!
y=-1/2x2に放り込む。
A(-2、-2) B(4、-8)

ABの傾きを求める。
A→B。右に6、下に-6。
傾きは、-6/6=-1

OPは△OABを2等分する
PはABの中点にある。(辺ABを底辺してそれを2等分
Pのx座標は、-2と4の真ん中。⇒1

傾きは1だから、Aから右に3、下に3なので、P(1、-5)

(2)  57.6%
結果が1/3となる事象を求める。
全体は、42=6通り。
確率が1/3なので、結果が2通りになる和を調べる。
2枚の和は、3・4・5・5・6・7。
空欄に入る数は5となる。

(3)  28.0%!
結果を描いてみよう。

折り目はBCと平行。
AがBC上に重なる点がD。

折り目は対称の軸で、点Aと点Dは対応する。
対応する点を結んだ線分と、対称の軸は直角に交わる
平行で同位角は等しいから、BCとADは垂直の関係。
①Aを通り、BCに垂直な線分を引く。
②BCとの交点がD。
③ADの垂直二等分線が折り目。

(4)  27.9%!
△ABP≡△CAQの証明。

△ABCは直角二等辺三角形。
直角三角形の合同条件である、斜辺と1鋭角が等しい点を指摘する。
角度は、〇+×=90°で調べていく。

(5)  43.6%
連立方程式。計算過程も示す。
120円のリンゴをx個、100円のリンゴをy個とする。
80円のリンゴは3x個。
3x+x+y=17
4x+y=17 …①

3x×80+120x+100y=1580
360x+100y=1580
36x+10y=158 …②

①②を解いて、x=3、y=5
80円のりんご…9個、100円のりんご…5個、120円のりんご…3個


大問3(標本調査)-23.9%

(1)  42.1%
範囲(レンジ)=最大値-最小値=10-2=8点

(2)  22.3%!
5点以上の人数に注目。
ゲームは2回で、1回のゲームの得点は0、1、3、5点のいずれか。
5点(1人)…0+5
6点(4人)…問題文より2人は3+3だから、残り2人は1+5。
8点(2人)…3+5
10点(1人)…5+5
1回でも5点を得たのは6人。

(3)①  11.5%!
面倒くさい。。(;´Д`)
1点と5点をチェンジする。
20人のメジアンなので、10番目と11番目の平均値が答えとなる。
得点の高い順から探っていった方がいい。

1番得点が高いのは、1+1=2点
5+5=10点となり、この5人がベスト5。
次に高いのは、1+3=4点
5+3=8点となり、ここまでがベスト10。
11位は、5+1か3+3=6点。
いずれであっても6点のまま。

6点と8点の平均で、答えは7点。

②  23.9%!
すべて式の正誤判定。
問題文の条件から何が新しく言えるのかを考える。

20人のメジアンが5.5点→10番目が5点、11番目が6点(B)。
Aは4点、6点はBのみ。

ア:レンジは最大値-最小値。
 メジアンしか判明しておらず、最大値、最小値の情報はわからない。×
イ:点数の低い順で、11番目以降の10人は6点以上。
 6点はB1人なので、8点と10点は合計9人いる。
  10番目の5点と8点と10点は、5点の部分に必ず入れなければならないので、
 1回でも5点にボールを止めた人は少なくとも10人はいる。
 
前のゲームで、5点、8点、10点は、表から合計4人しかいない。
 この4人すべてが1ゲームで5点を入れたとしても、
 最低6人が2ゲームで5点に入れたことになる。
 よって、1ゲーム目より2ゲーム目の方が5点に止めた人数が多い。○
ウ:最頻値の情報なし。×
エ:11番目以上の10人は6点以上。5点が1人いる。
 よって、4点のAを上回っている生徒は11人いる。○

大問4(数の性質)-23.9%

(1)  47.1%
ある数から左上にいくと、ある数-10になっている。
問題文の枠の中で言えば、15-10=5。
a=x-10

(2)①  25.6%!
同様に、b=x-8、c=x+8、d=x+10とおいて、計算するだけ。
M=bd-ac=(x-8)(x+10)-(x-10)(x+8)
=x2+2x-80-x2+2x+80=4x
xは自然数なので、Mは4の倍数。

②  10.9%!
前問より、M=4x
Mの1の位が4となるxを求めたい。
x=1のとき、4×1=4
x=6のとき、4×6=24
4の倍数で1の位が4になる組み合わせはこれしかない
x=1、6
ア…1 イ…6

aが1~10段目なので、xは2段目~11段目まである。
この範囲のなかで、1の位が1と6の数字の個数を求める。

1の位が1の数字だけ見てみよう。
1、11、21、31、41・・と右下に向かって斜めに並んでいる
一番右の列は9の倍数が並び、その9段目は9×9=81。
10段目は82~90と1の位が1の数字はなく、11段目の左に91が表れる。
留意すべきは、xは3×3の枠に囲まれた9つの数字の中央にある数字なので、
一番上の1段目は除外。さらに、一番右と左の列も除外すること。
該当する数字は、11~71の7つ。

1の位が6も同様。
16、26、56~96で、7つ。
よって、7+7=14通り
ウ…14
丁寧に認定すること!


大問5(図形)-25.7%

(1)
正八面体にまつわる設問。

正八面体の辺の数は12本。
立体図から数える。ア…12 (62.2%)

正方形BCDEの面積。
対角線の長さは4cm。正方形の面積=対角線×対角線÷2
4×4÷2=8cm2  イ…8 (37.6%)

BDとECの交点をOとする。
Oは正方形と正八面体の中心にある。
AF=4だから、AO=2cm
正四角錘AーBCDEの体積=底面積×高さ÷3=8×2÷3=16/3cm3
ウ…16/3 (21.4%!)

続いて、展開図問題。

アプローチはいろいろある。
たとえば、BCに着目して、辺BCを共有する正三角形は△ABCと△BCF。
△ABCでBCの反対側はA、△BCFでBCの反対側はF。
Aはすでに記されているので、もう片方の①はFとなる。
このように1つずつ調べていく。

展開の仕方から、①と③が重なるので、③もFとなる。
同様に、②と⑤も重なる。

また、正八面体において、頂点CからABDFは隣同士に位置するが、
EだけはCから離れている
展開図でいえば、④がCと隣同士になる可能性がない。
よって、④がEとなる。 エ…④ (52.7%)

『最も短い』→直線
だいたい三平方を使うので、BEを斜辺とする直角三角形を作成する。

Eから垂線をおろし、交点をHとする。
EHは正三角形を縦に2分するので、30°-60°-90°の直角三角形ができる。
1:2:√3より、EH=3√3
BH=√(152+3√32)=√252=6√7cm
オ…6√7 (12.0%!)

(2)  0.5%!!!
まずは形を確認。

三角錐CPFQは、三角形PQFを底面とすると、高さが一定。
この高さは、正方形BCDEの対角線ECの半分→3√2cm

正八面体の体積は正方形ABFDを底面として、6×6×3√2÷3×2=72√2cm3
三角錘CPFQの体積が、72√2÷6=12√2cm3になればいい。

AP=AQ=tとおいて、△PFQの面積をtで表す。
6×6-t×t×1/2-6×(6-t)×1/2×2
=-t2/2+6t

角錘CPFQの体積は、
(-t2/2+6t)×3√2×1/3=12√2
(-t2/2+6t)×√2-12√2 ←すべてに√2をかける。
=2(-t2/2+6t)-24 ←カッコを展開し、すべてに-をかける。
=t2-12t+24=0
因数分解ができないので、解の公式。
t=(12±4√3)/2=6±2√3
0≦t≦6(PとQは6秒でBとDに到着する)ので、
t=6-2√3
6-2√3秒後

@余談@
もうちょっと良い方法ないかな~と思案してみました。

四角錘C-ABFDは、正八面体の半分。
三角錘C-PFQが、四角錘C-ABFDの体積の1/3になれば
正八面体の面積の1/6になる。(正八面体の半分の1/3倍だから)

正方形ABFDにおいて、この3分の1の面積が△PFQになる。
残りの面積が、正方形の3分の2になればいい。
6×6×2/3=24cm2 …△PFQ以外の面積
t×t×1/2+6×(6-t)÷2×2=24
2-12t+24=0
解の公式→t=6-2√3

考え方は先ほどと同じですけど、
正方形ABFDにおいて、△PFQ以外が24cm2だと早めに決めてしまえば、
計算処理がややショートカットできます。

4の最後は正答率が10%を超えていた◎
正八面体をテーマとした大問5は良問。
オは、求めたい線分を1辺とする直角三角形→三平方で決着。
この考えは他の都道府県でも頻出です(σ’д’)σ

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QUIZ…☆4以上はムズいよ!
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