2019年度 武蔵中学過去問【算数】大問4解説

<図1>のように、たて3cm、横6cmの長方形があります。
これを1cmごとに区切ってできる18個のます目に、次の〔ルール〕で色をぬります。

〔ルール〕
・それぞれの列について、3つのます目のうち少なくとも1つはぬる。
・色をぬったます目の真下のます目はすべてぬる。
例えば、<図2>の場合、ぬった部分の面積は13cm2、まわりの長さは20cmとなります。
次の問に答えなさい。

(1)
面積が17cm2となったとき、まわりの長さとして考えられる長さをすべて求めなさい。

(2)面積が15cm2となったとき、
(ア)
まわりの長さとして考えられる長さをすべて求めなさい。

(イ)
まわりの長さが最も長くなるようなぬり方は何通りありますか。

(3)まわりの長さが最も長くなったとき、
(ア)
面積が最も大きくなる場合と最も小さくなる場合との例を1つずつ、
下のます目にぬりなさい。

(イ)
ます目のぬり方は(ア)の2通りもふくめて、全部で何通りありますか。


@解説@
みんな苦手な試行錯誤系。
(1)
面積が17cm2ということは、1マス塗られない。

3階の角か中かの2通り。18cm2、20cm2

(2)ア:
面積が15cm2→3マス塗られない。

左上の18を基準に、3階のどこかボコ(凹)ができると周りの長さが増える。
赤い線が増えるところ。
よって、18cm、20cm、22cm、24cm。

イ:
周りの長さが最も長くなる形は、
2凹と1凹の形。

2凹と1凹は2~5列目の中で、かつ隣り合ってはいけない。
〔2列目-4列目〕
〔2列目-5列目〕
〔3列目-5列目〕
の3パターン。
2凹と1凹が反対になる場合もあるので、各々で2通り。
2×3=6通り

(3)ア:
周りの長さを最も長くするには、2凹を2つ作る。

赤いところで長さを稼ぐ。
青いところはどちらでも変わらない。
左が面積最小で、右が面積最大となる。

イ:
ラスボス。
どこで終わりか確証が得ずらいので不安いっぱいになる。
場合分けの整理としては、3階部分が3つか4つに分ける。
3つの場合は隣り合わせにしないこと。そうしないと、2凹が2つできない。

図を簡略化しました(;^ω^)
Aが3階が3つパターン。4通り。
Bが3階が4つパターン。
隣り合わせになる2列の位置が3通り。
Cは形がBと似ているが、3階が隣り合う場所の2つの角のうち、1つを2階にするパターン。
1マス減らしても周りの長さが変わらない。
各々で2通り。2×3=6通り
したがって、4+3+6=13通り
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