2021年度　東大寺学園中学過去問【算数】大問１解説

問題ＰＤＦ
（１）次の空欄にあてはまる数を答えなさい。

（２）
液体Ａをある容器に54ｇ入れるといっぱいになりました。同じ容器に液体Ｂを30ｇ入れるといっぱいになりました。この容器に液体Ａと液体Ｂを入れていっぱいにしたところ、容器に入っている容器Ａと容器Ｂの重さの比は６：５になりました。
このとき、容器に入っている液体Ａと液体Ｂはそれぞれ何ｇですか。
ただし、液体Ａと液体Ｂは混ざり合わないものとします。

（３）
同じ大きさの小さい立方体の積み木125個を積んで図のように大きい立方体をつくりました。図において、ＰはＡＢ、ＱはＢＣ、ＲはＣＤのそれぞれ真ん中の点です。Ｐ、Ｑ、Ｒを通る平面で大きい立方体を切断しました。このとき、次の問いに答えなさい。必要ならば解答欄の図を用いなさい。

（ⅰ）
切られなかった小さい立方体の積み木は全部で何個ありますか。

（ⅱ）
切り口の形が正六角形となっている小さい立方体の積み木は全部で何個ありますか。

＠解説＠
（１）

とりあえず、□のない右辺から処理します。。

通分してつなげたときは、うしろの項にカッコをつけること！
カッコを展開すると＋１は－１に符号が変わる。
立方数の差はがんばって出す。結果は60

左辺でわかるところを処理する。
21×21－19×19
＝441－361＝80
43×47＝2021
*この素数の積は年号問題で予想されていたので、難なくクリアできたはず。
41×49＝2009

残るカッコ内の分子を△（＝2009＋□）としてまとめると、

80－20＝60だけど４ケタの分数が邪魔すぎる(:;ﾟ;Д;ﾟ;:)
20×2009/△の値が知りたいので・・

20でまとめると分子が20×2009で共通する！
△＝2025
2009＋□＝2025
□＝16

＠余談＠

結果論になってしまいますが、△＝2025であれば、
80×2021－20×2009＝60×2025が成り立つ。
長方形の面積でとらえると、Ｌ字の赤い部分の下が12×20＝240で、
これを右上に縦60でくっつけると横が４。ちょうど60×2025になる。

■追記■
80×2021－20×2009＝60×2025
80×43×47－20×41×49＝60×45×45
80×（45－２）×（45＋２）－20×（45－４）×（45＋４）＝60×45²
80×（45²－４）－20×（45²－16）＝60×45²
80×45²－80×４－20×45²＋20×16＝60×45²
45²×（80－20）＝60×45²
80－20＝60

（２）
同じ容器にＡだけで54ｇ、Ｂだけで30ｇ。
単位体積あたりの重さの比は、Ａ：Ｂ＝54：30＝９：５
容器に混ぜたときの重さの比はＡ：Ｂ＝６：５なので、
体積比はＡ：Ｂ＝６÷９：５÷５＝②：③

容器の体積を⑤とすると、Ａは②、Ｂは③入っている。
Ａの重さ…54×２/５＝21.6ｇ
Ｂの重さ…30×３/５＝18ｇ

（３）（ⅰ）

頻出のパターンなので正解したい。
ＰとＱが小さい立方体の中点にある。平行線の出発点を間違えないように！

３段目の中央で折り返すので、対称性から１段目と５段目、２段目と４段目は同じ。
各段で切り込まれる上面と下面の平行線を作図する。
この平行線に触れる正方形の数を数える。
９×２＋12×２＋13＝55個
切られない立方体は、125－55＝70個

（ⅱ）

↑大きい立方体が切り込まれた状況のように、上からみたときに上面の上と右の辺、
下面の下と左の辺の中点を断面が通ると正六角形になる。

３×２＋４×２＋５＝19個
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