2021年度 東大寺学園中学過去問【算数】大問1解説

(1)次の空欄にあてはまる数を答えなさい。

(2)
液体Aをある容器に54g入れるといっぱいになりました。同じ容器に液体Bを30g入れるといっぱいになりました。この容器に液体Aと液体Bを入れていっぱいにしたところ、容器に入っている容器Aと容器Bの重さの比は6:5になりました。
このとき、容器に入っている液体Aと液体Bはそれぞれ何gですか。
ただし、液体Aと液体Bは混ざり合わないものとします。

(3)
同じ大きさの小さい立方体の積み木125個を積んで図のように大きい立方体をつくりました。図において、PはAB、QはBC、RはCDのそれぞれ真ん中の点です。P、Q、Rを通る平面で大きい立方体を切断しました。このとき、次の問いに答えなさい。必要ならば解答欄の図を用いなさい。

(ⅰ)
切られなかった小さい立方体の積み木は全部で何個ありますか。

(ⅱ)
切り口の形が正六角形となっている小さい立方体の積み木は全部で何個ありますか。

↑解答欄の図。


@解説@
(1)

過呼吸になるね(:.;゚;Д;゚;.:)

心折られて手つけたくないが、解説ブロガーとして無視したい無視すべきではないの葛藤に悩まされ、おそらくこれが解けるまで永遠に病みつづけるであろうと悟り、やむを得ず挑戦してみました。
とりあえず、□のない右辺から処理してみるよ。。

通分してつなげたときは、うしろの項にカッコをつけること!
カッコを展開すると+1は-1に符号が変わる。
立方数の差はがんばって出す。結果は60。

左辺でわかるところを処理。
21×21-19×19
=441-361=80
43×47=2021
*この素数の積は年号問題で予想されていたので、難なくクリアできたはず。
41×49=2009

残るカッコ内の分子を△(=2009+□)としてまとめると・・

80-20=60だけど4ケタの分数が邪魔すぎる(:.;゚;Д;゚;.:)
何か整数論のマジックがあるのかもしれないが(あるの?)、20×2009/△の値が知りたいので・・

マウスを握る手が痛くなってきたが、20でまとめると分子が20×2009で共通する!
△=2025
2009+□=2025
□=16

@余談@

結果論になってしまいますが、△=2025であれば、
80×2021-20×2009=60×2025が成り立つ。
長方形の面積でとらえると、L字の赤い部分の下が12×20=240で、
これを右上に縦60でくっつけると横が4。
ちょうど60×2025になる:( ´ω` ):
東大寺の先生はどうやってこういうの作ってるんでしょうね。。

■追記■
80×2021-20×2009=60×2025
80×43×47-20×41×49=60×45×45
80×(45-2)×(45+2)-20×(45-4)×(45+4)=60×452
80×(452-4)-20×(452-16)=60×452
80×452-80×4-20×452+20×16=60×452
452×(80-20)=60×452
80-20=60

(2)
同じ容器にAだけで54g、Bだけで30g。
単位体積あたりの重さの比は、A:B=54:30=9:5
容器に混ぜたときの重さの比はA:B=6:5なので、
体積比はA:B=6÷9:5÷5=②:③

容器の体積を⑤とすると、Aは②、Bは③入っている。
Aの重さ…54×2/5=21.6g
Bの重さ…30×3/5=18g

(3)(ⅰ)

頻出のパターンなので正解したい。
PとQが小さい立方体の中点にある。平行線の出発点を間違えないように!

3段目の中央で折り返すので、対称性から1段目と5段目、2段目と4段目は同じ。
各段で切り込まれる上面と下面の平行線を作図。
この平行線に触れる正方形の数を数える。
9×2+12×2+13=55個
切られない立方体は、125-55=70個

(ⅱ)

↑大きい立方体が切り込まれた状況のように、上からみたときに上面の上と右の辺、
下面の下と左の辺の中点を断面が通ると正六角形になる。

3×2+4×2+5=19個
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