2021年度 甲陽学院中学1日目過去問【算数】大問3解説

図のような、立方体の各辺の真ん中の点を結んで出来た立体Xがあります。

(1)
辺BEの真ん中の点Mを通り、面ABCDに平行な平面で立体Xを切断するとき、
立体Xの断面積は面ABCDの面積の何倍ですか。

(2)
BN:NE=1:2となるように辺BE上に点Nをとります。
点Nを通り、面BCFに平行な平面で立体Xを切断するとき、
立体Xの断面積は面BCFの面積の何倍ですか。


@解説@
(1)

△ABEは斜めの面だが、上から眺めると直角二等辺三角形にみえる。
MはEBの中点で、ABと平行になるように切られるので断面はEAの中点も通過する
対称性でつなげていくと、断面の形は八角形である。

左下の△FEMの面積を①とする。
辺の比から△ABE=△ABO=④
五角形AFMBO=⑧-①=⑦(等脚台形AFMBは③)

面積比の算出は正方形AEBO内で決着がつく。
正方形ABCD:断面積(八角形)=△ABO:五角形AFMBO=④:⑦
断面積は面ABCDの7/4倍。

(2)

断面の作図は図形Xの面上ではなく、外側へ延長しよう。
BFとの平行線を意識して、Nを通る正三角形GHIを作成。
EBは右上45度線、GIは右下45度線。
△GBNは直角二等辺三角形ゆえ、GN=BN=①
四角形BNJFは長方形で、NJ=BF=③
対称性からJI=GN=①
断面積は右の赤枠のような形になる。
△BCFの面積…③×③=【9】
断面積…⑤×⑤-①×①×3=【22】
断面積は面BCFの22/9倍。

@余談@

△BCFと△GHIは平行なので、三角錐J-BCFと三角錐J-GHIは相似関係にあるが、
Bから直接Gの位置を探ろうとすると失敗する(;`ω´)
BJは直角二等辺三角形BJFの等辺だが、GBは直角二等辺三角形GBNの斜辺にあたる。
中3で習う根号(ルート)を使わないと厳しい。。
また、角の3つの底面は正三角形だが、立体はきれいな正三角錐ではない。

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