2021年度 大阪星光学院中学過去問【算数】大問2解説

下の図1のように、縦の長さが8cmの長方形ABCDがあります。

点PはAを出発して辺AD上を毎秒5cmの速さで何度も往復します。
また点Qは、点Pと同時にCを出発して、辺CB上を一定の速さで何度も往復します。
下の図2のグラフはこのときの図形ABQPの面積の変化を表しています。

(1)
点Qの速さは毎秒何cmですか。

(2)
図2のグラフの〔ア〕にあてはまる数は何ですか。

(3)
2点P、Qが出発してから180秒間で面積が最も大きくなるのは何秒後ですか。
あてはまる数をすべて答えなさい。


@解説@
(1)

図形ABQPの面積は、AP(上底)+BQ(下底)の和に依存する
6秒後までは面積が増加しているのでAP+BQは長くなる。
つまり、BQの減少よりAPの増加が勝るので、PはQより速いことになる。
→6秒後、先にPがDに到着する。
ここからグラフが急激に下がるのは、Pが折り返すことでAPとBQがともに短くなるから。
面積が90cm2のときにQがBに到着する。
6×2=12秒後にPがAに戻る。
AD(長方形の横)の長さは6×5=30cm

QがBについたとき、AP=90×2÷8=22.5cm
Pの移動距離は、60-22.5=37.5cm
37.5÷5=7.5秒後
Qの速さは、30÷7.5=毎秒4cm

@別解@

PがAに戻る72cm2でも解ける。
BQ=72×2÷8=18cm
速さの比は、P:Q=60:48=5:4
Pが毎秒5cmなので、Qは毎秒4cm。

(2)
AP=30cm、BQ=30-4×6=6cm
(30+6)×8÷2=144

(3)
図形ABQPの面積が最大になるのは、PがD、QがCにいるとき
(長方形ABCDと同じ面積になる)
〔PがDにいる時間〕→6・18・30・42…
〔QがCにいる時間〕→15・30・45…
30秒後に面積がはじめて最大化。
留意点は、はじめにPはAから出発しているので、
今度はDから出発して再びDに戻るときを考えること!
30秒後にPはA→Dに移動するので、D→A→Dは60秒後
30と60の最小公倍数は言わずもがな60なので、以降60秒ごとに面積が最大化。
30+60=90秒後
90+60=150秒後
180秒間では30、90、150秒後。
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