2019年度　南山中学校女子部過去問【算数】解説

問題ＰＤＦ
（２）

（３）

（４）
１から７の７個の数が下の約束にしたがって左から一列に並んでいます。
いちばん左の数は他の６個の数の平均で、真ん中の数より小さいです。
また、真ん中の数より左の３個の数の和と右の３個の数の和は等しくなります。
さらに、左から２番目と右から２番目の数の和は、両はしの和に等しくなります。
①真ん中の数はいくつですか。
②この７個の数の並びを答えなさい。

（５）
〔１、２、３〕を１、２、３を並びかえてできるすべての３桁の数の和とします。
つまり、〔１、２、３〕＝123＋132＋231＋213＋312＋321＝1332
〔３、５〕は、〔３、５〕＝35＋53＝88
また、〔２、６、９〕ならば、〔２、６、９〕＝269＋296＋692＋629＋926＋962＝3774です。
①〔２、４、６、８〕はいくつですか。
②〔２、４、６、８〕÷〔１、３、５、７〕を計算しなさい。

（９）
△ＡＢＣと△ＤＥＣは合同です。
△ＣＥＦの面積は△ＡＢＣの面積の何倍ですか。

（10）
直方体の形をした容器に水が入っています。この容器に図１のような円柱のおもりを円の面が容器の底面につくように入れたところ、図２のように水の深さは3.5ｃｍになりました。またこのおもりを側面が底面につくように入れたところ、図３のように水の深さは４ｃｍになりました。

①この容器の底面積を求めなさい。
②図４のようにこのおもりを円の面が容器の底面につくように２本入れると、
水の深さは何ｃｍになりますか。

（11）
解答らんの図に∠ＣＯＰ＝27°の直線ＯＰを作図しなさい。
また、どのように作図したのかも説明しなさい。
ただし、コンパスは４回まで使ってよい。

＊注意＊
定規は直線を引くために用い、目盛りを使用しないこと。

＠解説＠
女子部だが、算数に強くないとココきついね(›´ω`‹ )
（２）

分母が２のべき乗。
1024で通分してもできるが、例題をよくみて見よう。
１/２＋１/４＝１－１/４＝３/４
１/２＋１/４＋１/８＝１－１/８＝７/８
１/２＋１/４＋１/８＋１/16＝１－１/16＝15/16
ということは、、
与式＝１＋（１－１/1024）＝2047/1024

（３）①
４進法。
●がどこにくると何になるか、きちんと見極めよう。

一番左の２マスが１～３。左から２番目の上段に繰り上がると４。
４の倍数が大きな区切りになると予想する。
８を調べると、左から２段目の下。12は例題の通り、２段目の上下。
16は左から３段目に繰り上げ。

上段は４⁰＝１、４¹＝４、４²＝16、４³＝64、４⁴＝256
下段は２から始まり４倍。（もしくは次の上段の半分）
12のように上段と下段の両方に●があると、その上段の３倍。
例題の409は、１＋８＋16＋128＋256＝409となる。

１×３＋４＋16×３＝55

②
275を４進法に直すと、、10103。

上段・下段のどちらもないと０。
上段のみが１、下段のみが２、両方あると３。
０～３の４つの数字で表すのが４進法。

（４）①
推論問題。奇数・偶数の判定がポイント！
１～７は偶数が３つ、奇数が４つ。
『一番左は他６つの平均である』
【平均（一番左）×６＝残り６つの総和】
６（偶数）をかけたので、残り６つの総和は偶数になる。
もし、一番左の数字が奇数だと、残りは偶数３つ、奇数３となり、
これらの６つの数字の和は奇数になってしまう。
よって、一番左の数字は偶数。候補は２・４・６。
１～７のうち６つを選んだ平均が２だと小さすぎる。逆に６は大きすぎ。
一番左は４に決まる。

真ん中の数字は４より大きい→５・６・７
１～７の総和は28。
28は偶数なので、奇数を１つ選んで取り除くと残りの６つの数字の和が奇数になる。
しかし、真ん中をはさんで左右の３つの数字の和が等しくなったということは、
６つの数字の和は偶数でなくてはならない。
よって、真ん中の数字は６となる。

②
真ん中が６だから、左右の３つの和はそれぞれ（28－６）÷２＝11

左の２つの和は11－４＝７。残りの数字では（２、５）の組合せしかない。
『左から２番目と右から２番目の和と、両端の和が等しい』
よって、【４・２・５・６・７・３・１】と決まる。

（５）①
〔１、２、３〕→123＋132＋231＋213＋321＋312
１、２、３の並べ方は、３×２×１＝６通り
筆算をイメージしよう。

一の位、十の位、百の位のなかで（１・２・３）が２つずつ計６つの数字がでてくる。

各位のなかで計算。繰り上がりに気を付けよう。

法則さえわかれば、４桁も同様。

４つの数字の並べ方は、４×３×２×１＝24通り
各位では、（２、４、６、８）が24÷４＝６個ずつ。
（２＋４＋６＋８）×６＝120
上のように計算して、133320。

②
分配法則をうまく使う。
〔２、４、６、８〕＝120×１＋120×10＋120×100＋120×1000
〔１、３、５、７〕＝96×１＋96×10＋96×100＋96×1000
〔２、４、６、８〕÷〔１、３、５、７〕
＝｛（１＋10＋100＋1000）×120｝÷｛（１＋10＋100＋1000）×96｝
＝120÷96＝５/４

（９）
等しい角に印をつける。

２角が等しい→△ＡＢＣ∽△ＣＢＥ
ＡＢ：ＣＢ＝ＣＢ：ＥＢ
ＥＢ＝２×２/６＝２/３
ＡＥ＝６－２/３＝16/３

△ＡＢＣの内角は×－○－○。
×＋○＋○＝180°
合同から、∠ＤＥＣ＝○
∠ＦＥＡ＝180－∠ＤＥＣ○－∠ＣＥＢ○＝×
△ＡＥＦは二等辺となる。

さらに、合同から∠ＥＡＦ×＝∠ＣＤＦ×、
対頂角と合わせて２角が等しく、△ＡＥＦ∽△ＤＣＦ
△ＤＣＦも二等辺となる。

ＡＥ：ＤＣ＝16/３：６＝８：９
ＡＦ＝ＥＦ＝⑧、ＤＦ＝ＣＦ＝⑨

求める解は△ＣＥＦは△ＡＢＣの面積の何倍かだが、
△ＤＥＣは△ＡＢＣと合同なので、△ＤＥＣで考えよう。
△ＤＥＣ：△ＣＥＦ＝ＤＥ：ＦＥ＝17：８
よって、△ＣＥＦは△ＡＢＣの８/17倍。

（10）①

水面下の体積に注目する。
図２は、水＋円柱の高さ3.5ｃｍ分。
図３は、水＋円柱の高さ７ｃｍ分(全部)。
ということは、水面差0.5ｃｍの体積は、
（水＋円柱７ｃｍ）－（水＋円柱3.5ｃｍ）＝円柱3.5ｃｍに相当する。
容器の底面積は、２×２×3.14×3.5÷0.5＝87.92ｃｍ²

②
水の体積が変わらないことを利用する。
【体積＝底面積×高さ】
つまり、底面積と高さは反比例で、各々の比は逆比になる。
前問で、容器の底面積は87.92ｃｍ²＝28×3.14
円柱１本の底面積は、２×２×3.14＝４×3.14
円柱２本の底面積は、８×3.14
容器の底面積を【28】とおく。
円柱１本のときの底面積は、【28】－【４】＝【24】
円柱２本のときの底面積は、【28】－【８】＝【20】
底面積の比は、円柱１本：円柱２本＝24：20＝６：５

高さの比は、円柱１本：円柱２本＝５：６
よって、3.5×６/５＝4.2ｃｍ

（12）
27°の作図。コンパスの使用が４回までに制限されている。
角の二等分線や垂線の作図方法は１度でコンパスを３回使用するうえに、
小学生は習わない（と思われる）ので、別の方法を探す。

69°からどうやって27°をつくればよいのか。。
〔180－69×３＝27〕！

①Оを中心にグルっと円を描く。
ОＡとОＢの交点をＤ・Ｅとする。

②コンパスでＤ－Ｅの距離をとり、Ｅを起点にＦを作成。
③Ｆを起点にＰを作成。

∠ＥＯＦ＝∠ＦＯＰ＝69°
∠ＰＯＤ＝69×３＝207°
∠ＰＯＣ＝207－180＝27°となる。

④Ｑを中心にＱＰを半径として円を描く。
ＡＣを対称の軸として、Ｐを上へ対称移動。
∠Ｐ’ＯＣ＝27°でもＯＫ。

■データ■
200点満点中
受験者平均…89.7点　合格者平均…127.6点
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