問題ＰＤＦ
図１のような円すいがあります。
この円すいの側面を直線ＸＡに沿って切りひらくと、円の４分の１であるおうぎ形になります。また、円すいの底面の円には、すべての頂点が円周上にあるような正方形ＡＢＣＤが書いてあります。正方形ＡＢＣＤの１辺の長さは10ｃｍです。
（１）
ＸＡの長さは底面の円の半径の長さの何倍ですか。
この円すいの表面上を動く点Ｐと点Ｑを考えます。
点Ｐは図２のように、Ａを出発して円すいの側面を最短距離で左回りに１周してＡに戻ってきます。一方、点Ｑは、図３のように、Ａを出発して正方形ＡＢＣＤの辺上を左回りに１周してＡに戻ってきます。点Ｐと点Ｑは同時にＡを出発して、それぞれ一定の速さで動きます。点Ｐは速さは点Ｑの速さの４倍です。このとき、円すいを真上から見ると、点Ｐは図４の実線部分に沿って動いていました。
（２）
点ＰがＡを出発してから、再びＡに戻るまでに移動した距離を答えなさい。
また、点ＰがＡに戻ったときの点Ｑの位置を、次の①～⑧の中から選び、記号で答えなさい。
①Ａ ②ＡとＢの間 ③Ｂ ④ＢとＣの間
④Ｃ ⑤ＣとＤの間 ⑥Ｄ ⑦ＤとＡの間
（３）
図５は、あるときに円すいを真上からみた図で、３点Ｃ、Ｐ、Ｘは一直線上にありました。
このとき、実際のＸＰの長さ（円すいの頂点から点Ｐまでの長さ）と、
図５のＸＰの長さ（真上から見たときのＸＰの長さ）を答えなさい。
（４）
図６は、あるときに円すいを真上から見た図で、３点Ｂ、Ｐ、Ｘは一直線上にありました。
（ア）Ａを出発してからこのときまでにかかった時間は、
点Ｐが１周する時間の１/４倍の時間と比べて、長いですか、短いですか、同じですか。
次の①～③の中から選び、記号で答えなさい。
①長い ②短い ③同じ
（イ）図６の（あ）の角度を答えなさい。
（ウ）図６のＸＰの長さは、図６のＸＱの長さと比べて、長いですか、短いですか、同じですか。
次の①～③の中から選び、記号で答えなさい。また、その理由も書きなさい。
①長い ②短い ③同じ
（５）
図７は、あるときに円すいを真上から見た図で、点Ｐは辺ＡＢ上にありました。
図７の（い）の角度を答えなさい。
＠解説＠
（１）
中心角の比と、母線：半径の比は逆比。
ＸＡ（母線）は底面の円の半径の４倍。
（２）
最短距離なので、Ｐが動いた長さはＡＡ’になる。
↑Ａが３つでてくるので、Ａ’’にしました。
長さは底面に描かれた正方形の１辺10ｃｍしかわかっていない。
対角線ＡＣ、ＢＤの交点をＯとする。
△ＸＡＡ’と△ＯＡ’’Ｂがともに直角二等辺三角形で相似。
ＡＡ’：ＡＢ＝④：①
Ｐが動いたＡＡ’＝10×④＝40ｃｍ
Ｐが１周して40ｃｍ移動。
距離の比は速さの比と同じだから、Ｑの移動距離は10ｃｍ。よって、Ｂの位置。
点Ｐが移動した距離…40ｃｍ、点Ｑの位置…③
（３）
Ｃは弧ＡＡ’の真ん中。
ＸＣとＡＡ’との交点ＰはＡＡ’の中点である。
直角二等辺ＸＡＡ’を真っ二つにした、△ＸＡＰと△ＸＡ’Ｐも同様に直角二等辺。
ＸＰ＝40÷２＝20ｃｍ
図５は上から見た図だが、正面から見た図だと三角形の相似が使える。
上から見たときのＸＰは？の長さにあたる。
相似比４：１を利用して、？＝20×１/４＝５ｃｍ
実際のＸＰの長さ…20ｃｍ 図５のＸＰの長さ…５ｃｍ
（４）ア
このあたりから難易度が上がってくる。。
ＸＢとＡＡ’の交点がＰ。
ＡＡ’の中点をＲとすると、なんとなくＡＰ＞ＰＲに思える。。
ＡＣをひき、ＸＢとの交点をＳとする。
ＸＢを対称の軸として、線対称からＡＳ＝ＣＳ
Ｓを通るＲＣに平行な線をひき、ＡＲとの交点をＴとする。
△ＡＴＳと△ＡＲＣの相似を利用すると、ＡＲの中点はＴである。
ＰはＴの右側にあるので、ＰがＡＡ’を１周する時間の１/４倍より長いことになる。①
＠別解＠
もう１つのやり方としては、高校数学に出てくる角の二等分線の証明が使える。
Ｒを通るＡＸに平行な直線と、ＸＰの延長との交点をＳとする。
錯角で∠ＸＳＲ＝●
２つの底角が等しいから、△ＸＳＲは二等辺三角形。
ＡＲ＝①とすると、ＳＲ＝①
直角二等辺三角形ＸＲＡの斜辺ＸＡは①よりも長い。
△ＡＸＰと△ＲＳＰは２角が等しく相似。
対応する辺の比から、ＸＡ：ＳＲ＝ＡＰ：ＲＰ
ＸＡ＞ＳＲだから、ＡＰ＞ＲＰが言える。
イ
（あ）の角度は円錐を上から見た図だが、Ｑの情報が少ない・・。
そこで、ＰとＱに何かしらの関係があるのではないか？とにらむ。
ＰとＱの位置を図示すると、形が似ている。
（１）より、母線ＸＡ：半径ＸＡ＝④：①
進んだ長さから、ＡＰ：ＡＱ＝【４】：【１】
これらと45°を合わせると、２辺の比とあいだの角が等しいので△ＸＡＰと△ＸＡＱが相似！
∠ＡＸＰは90°の４分の１だから22.5°である。
対応する角で∠ＡＸＱ（あ）＝∠ＡＸＰ＝22.5°
ウ
まぐれ当たり防止のためか、解答に説明が要求される(´ﾟдﾟ｀)
先ほどの相似から、実際のＸＰとＸＱの長さは〔４〕：〔１〕。
側面の展開図を上からみたとき、長さがどれほど縮まるかを検証する。
展開図のＸＡの長さ④は上から見た図ではＸＢ①にあたる。
ＸＢの長さは半径よりＸＡと同じ。
ということは、側面の展開図を１/４倍縮小すると上から見た図の長さになる！
上から見た図のＸＰは、〔４〕×１/４＝〔１〕だから、ＸＰとＸＱの長さは同じ。
（５）
これはヤバめ:(っ`ω´c):
算数オリンピックはよく知らないけど、そういうのに出てきそうな感じがする。
（３）はＱがなかったので試しに調べると、半周だからＡとＢの中点である。ＸＱ＝５ｃｍ
結果を観察してみると、どれもＸＰ＝ＸＱ、∠ＰＸＡ：∠ＱＸＡ＝４：１。
急に消えたＱを再現する。
ひょっとするとＸＰ＝ＸＱは常に成り立つのでは？
おまけに、∠ＰＸＡ：∠ＱＸＡ＝４：１も成り立ちそう。
∠ＰＸＡ＝④とすると、∠ＱＸＡ＝①
直角二等辺三角形ＸＡＢとＸＰ＝ＸＱの対称性より、∠ＰＸＢ＝∠ＱＸＡ＝①
（い）＝90×④/⑤＝72°
＠余談＠
長さについては（４）ウで示したとおり、相似比が４：１の三角形から、
大きい三角形を上から押し込むと１/４倍に圧縮されて等しくなる。
問題は角度がどうして∠ＰＸＡ：∠ＱＸＡ＝４：１になるのか・・。
（４）アではＢ・Ｐ・Ｘが一直線上にあるとき、ＰはＡＡ’の１/４より長い距離を移動していた。
角速度は一定ではないが、相似より対応する角の大きさは常に等しいので、
∠ＰＸＡと∠ＱＸＡの動きはシンクロしている。
線分の端っこを移動しているときは角の開きは遅いが、Ｘの真下に近づくと角の開きは速くなる。
Ｑの速さを４分の１にしてゴールをＢまでにしたのは、２つの角の動きを同じにするためだと思う。
真上からみると、Ｐの軌道は円ではないくせに∠ＰＸＡ：∠ＱＸＡ＝４：１となるのは何故か。
ＰをＰ’、ＱをＱ’に移動させ、同一円周上を動く２点で捉えてみると、
Ｐ’は１周で変な動きをする。Ｑ’は１/４周で変な動きをする。
２つの変な動きは互いにシンクロしているので、ある時間での角の大きさは４：１になるのだと思う…。
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