2022年度 栄光学園中学過去問【算数】大問4解説

図1のような円すいがあります。

この円すいの側面を直線XAに沿って切りひらくと、円の4分の1であるおうぎ形になります。また、円すいの底面の円には、すべての頂点が円周上にあるような正方形ABCDが書いてあります。正方形ABCDの1辺の長さは10cmです。

(1)
XAの長さは底面の円の半径の長さの何倍ですか。

この円すいの表面上を動く点Pと点Qを考えます。
点Pは図2のように、Aを出発して円すいの側面を最短距離で左回りに1周してAに戻ってきます。一方、点Qは、図3のように、Aを出発して正方形ABCDの辺上を左回りに1周してAに戻ってきます。点Pと点Qは同時にAを出発して、それぞれ一定の速さで動きます。点Pは速さは点Qの速さの4倍です。このとき、円すいを真上から見ると、点Pは図4の実線部分に沿って動いていました。

(2)
点PがAを出発してから、再びAに戻るまでに移動した距離を答えなさい。
また、点PがAに戻ったときの点Qの位置を、次の①~⑧の中から選び、記号で答えなさい。
①A ②AとBの間 ③B ④BとCの間
④C ⑤CとDの間 ⑥D ⑦DとAの間

(3)

図5は、あるときに円すいを真上からみた図で、3点C、P、Xは一直線上にありました。
このとき、実際のXPの長さ(円すいの頂点から点Pまでの長さ)と、
図5のXPの長さ(真上から見たときのXPの長さ)を答えなさい。

(4)
 
図6は、あるときに円すいを真上から見た図で、3点B、P、Xは一直線上にありました。

(ア)Aを出発してからこのときまでにかかった時間は、
点Pが1周する時間の1/4倍の時間と比べて、長いですか、短いですか、同じですか。
次の①~③の中から選び、記号で答えなさい。
①長い ②短い ③同じ

(イ)図6の(あ)の角度を答えなさい。

(ウ)図6のXPの長さは、図6のXQの長さと比べて、長いですか、短いですか、同じですか。
次の①~③の中から選び、記号で答えなさい。また、その理由も書きなさい。
①長い ②短い ③同じ

(5)

図7は、あるときに円すいを真上から見た図で、点Pは辺AB上にありました。
図7の(い)の角度を答えなさい。


@解説@
(1)

中心角の比と、母線:半径の比は逆比。
XA(母線)は底面の円の半径の4倍。

(2)

最短距離なので、Pが動いた長さはAA’になる。

↑Aが3つでてくるので、A’’にしました。
長さは底面に描かれた正方形の1辺10cmしかわかっていない。
対角線AC、BDの交点をOとする。
△XAA’と△OA’’Bがともに直角二等辺三角形で相似
AA’:AB=④:①
Pが動いたAA’=10×④=40cm

Pが1周して40cm移動。
距離の比は速さの比と同じだから、Qの移動距離は10cm。よって、Bの位置。
点Pが移動した距離…40cm、点Qの位置…③

(3)

Cは弧AA’の真ん中。
XCとAA’との交点PはAA’の中点である
直角二等辺XAA’を真っ二つにした、△XAPと△XA’Pも同様に直角二等辺。
XP=40÷2=20cm

図5は上から見た図だが、正面から見た図だと三角形の相似が使える。
上から見たときのXPは?の長さにあたる。
相似比4:1を利用して、?=20×1/4=5cm
実際のXPの長さ…20cm 図5のXPの長さ…5cm

(4)ア
このあたりから難易度が上がってくる。。

XBとAA’の交点がP。
AA’の中点をRとすると、なんとなくAP>PRに思える。。

ACをひき、XBとの交点をSとする。
XBを対称の軸として、線対称からAS=CS

Sを通るRCに平行な線をひき、ARとの交点をTとする。
△ATSと△ARCの相似を利用すると、ARの中点はTである。
PはTの右側にあるので、PがAA’を1周する時間の1/4倍より長いことになる。①

@別解@

もう1つのやり方としては、高校数学に出てくる角の二等分線の証明が使える。
Rを通るAXに平行な直線と、XPの延長との交点をSとする。
錯角で∠XSR=

2つの底角が等しいから、△ARSは二等辺三角形
AR=①とすると、SR=①
直角二等辺三角形XRAの斜辺XAは①よりも長い。

△AXPと△RSPは2角が等しく相似。
対応する辺の比から、XA:SR=AP:RP
XA>SRだから、AP>RPが言える。



(あ)の角度は円錐を上から見た図だが、Qの情報が少ない・・。
そこで、PとQに何かしらの関係があるのではないか?とにらむ。

PとQの位置を図示する。(´ω`).。0(形が似ている)

(1)より、母線XA:半径XA=④:①
進んだ長さから、AP:AQ=【4】:【1】
これらと45°を合わせると、2辺の比とあいだの角が等しいので△XAPと△XAQが相似

∠AXPは90°の4分の1だから22.5°である。
対応する角で∠AXQ(あ)=∠AXP=22.5°


まぐれ当たり防止のためか、解答に説明が要求される(´゚д゚`)

先ほどの相似から、実際のXPとXQの長さは〔4〕:〔1〕
側面の展開図を上からみたとき、長さがどれほど縮まるかを検証する。
展開図のXAの長さ④は上から見た図ではXB①にあたる。
XBの長さは半径よりXAと同じ。
ということは、側面の展開図を1/4倍縮小すると上から見た図の長さになる
上から見た図のXPは、〔4〕×1/4=〔1〕だから、XPとXQの長さは同じ。

(5)
これはヤバめ:(っ`ω´c):
算数オリンピックはよく知らないけど、そういうのに出てきそうな感じがする。

(3)はQがなかったので試しに調べると、半周だからAとBの中点である。XQ=5cm
結果を観察してみると、どれもXP=XQ、∠PXA:∠QXA=
4:1

急に消えたQを再現する
ひょっとするとXP=XQは常に成り立つのでは?
おまけに、∠PXA:∠QXA=4:1も成り立ちそう

∠PXA=④とすると、∠QXA=①

直角二等辺三角形XABとXP=XQの対称性より、∠PXB=∠QXA=①
(い)=90×④/⑤=
72°

@余談@

長さについては(4)ウで示したとおり、相似比が4:1の三角形から、
大きい三角形を上から押し込むと1/4倍に圧縮されて等しくなる。
問題は角度がどうして∠PXA:∠QXA=4:1になるのか・・。

(4)アではB・P・Xが一直線上にあるとき、PはAA’の1/4より長い距離を移動していた。
角速度は一定ではないが、相似より対応する角の大きさは常に等しいので、
∠PXAと∠QXAの動きはシンクロしている
線分の端っこを移動しているときは角の開きは
遅いが、Xの真下に近づくと角の開きは速くなる。
Qの速さを4分の1にしてゴールをBまでにしたのは、2つの角の動きを同じにするためだと思う。

真上からみると、Pの軌道は円ではないくせに∠PXA:∠QXA=4:1となるのは何故か。
PをP’、QをQ’に移動させ、同一円周上を動く2点で捉えてみると
P’は1周で変な動きをする。Q’は1/4周で変な動きをする
2つの変な動きは互いにシンクロしているので、ある時間での角の大きさは4:1になるのだと思う…。

本問の背景に潜むメカニズムを発見した方は是非、
下のコメント欄かお問い合わせよりお知らせ願いますm(_ _)m
難関中(算数科)解説ページに戻る

◆menu◆ 公立高校入試…関東圏メイン。千葉だけ5教科あります。%は正答率。
国私立高校入試…数学科のみ。ハイレベルな問題をそろえてみました。
難関中算数科…中学受験の要。数学とは異次元の恐ろしさ(;´Д`)
難関中社会科…年度別。暗記だけじゃ無理な問題がいっぱい!
難関中理科…物化生地の分野別。初見の問題を現場思考でこなせるか。
難問特色検査…英国数理社の教科横断型思考問題。
センター試験…今のところ公民科だけ(^-^;ニュース記事だけじゃ解けないよ!
勉強方法の紹介…いろいろ雑記φ(・・。)
QUIZ…☆4以上はムズいよ!
noteも書いています(っ´ω`c)
入試問題を題材にした読み物や個人的なことを綴っていこうと思います。
気軽にお立ち寄り下さい(*^^*)→サボのnote
サボのツイッターはコチラ→

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。

CAPTCHA