2023年度　東大寺学園中学過去問【算数】大問２解説

問題ＰＤＦ
それぞれ一定の濃度の食塩水が出てくる３個のじゃ口Ａ、Ｂ、Ｃを使って水そうに食塩水を入れます。Ａ、Ｂ、Ｃからはそれぞれ毎分100ｇの食塩水が出ます。水そうは十分に大きいので食塩水があふれることはありません。また、水そうに入っている食塩水はすぐによく混ざり合うものとして、次の問いに答えなさい。

（１）
はじめ、水そうには濃度２％の食塩水が200ｇ入っていて、全てのじゃ口は閉まっていました。まず、Ａを３分間だけ開けてから閉め、水そう内の食塩水の濃度を測定しました。ふたたび、Ａを１分間だけ開けてから閉め、水そう内の食塩水の濃度を測定したところ、さきほど測定したときよりも0.4％高くなっていました。Ａから出てくる食塩水の濃度は何％ですか。

（２）
（１）の後、ＡとＢを同時に開け、２分後にＢだけを閉めました。その後、水そう内の食塩水の濃度を複数回測定しても濃度が変わらなかったので、Ａも閉めました。Ｂから出てくる食塩水の濃度は何％ですか。

（３）
（２）の後、Ｃを４分間だけ開けてから閉め、水そう内の食塩水の濃度を測定すると３％高くなっていました。ふたたび、Ｃを４分間だけ開けてから閉め、水そう内の食塩水の濃度を測定するとさらに２％高くなっていました。Ｃから出てくる食塩水の濃度は何％ですか。

＠解説＠
（１）

モビールみたいな２段のテコをつくる。
□％は蛇口Ａの濃度。
下のテコでは、２％食塩水200ｇと□％300ｇを混ぜている。
上のテコでは、合算した500ｇと□％100ｇを混ぜている。
上のテコにおいて、重さの逆比から支点からの距離は１：５なので、？＝0.4×５＝２

下のテコの右側の距離が2.4。
重さの逆比で、？＝2.4×３/２＝3.6
蛇口Ａの濃度は、２＋3.6＋2.4＝８％

（２）

（１）後の状態は前問の上テコの支点で、食塩水600ｇ、濃度は６％。
食塩は600×６％＝36ｇ
この２分後の食塩水は、600＋200×２＝1000ｇ
その後、Ａだけを何度か入れても濃度が変わらなかった。
→Ａの濃度は８％。８％に８％を入れても８％のまま。
つまり、食塩水1000ｇのときの濃度は８％。

このときの食塩は、1000×８％＝80ｇ
２分間で食塩は80－36＝44ｇ増加している。
このうち、Ａの食塩は200×８％＝16ｇだから、Ｂの食塩は44－16＝28ｇ
Ｂの食塩水200ｇ、食塩28ｇ。濃度は28/200＝14％

（３）

ふたたびモビール。
濃度は８％→11％→13％と変わり、蛇口Ｃの濃度は？％。
８％の食塩水の量は不明である。
上のテコで支点から蛇口Ｃまでの距離を★とする。
左右のモーメントは等しいので、11％の重さは、400×★÷２＝200×★

下のテコで、支点からの距離は３：（２＋★）
左右のモーメントから８％の重さは、400×（２＋★）÷３＝（800＋400×★）/３