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2020年度 四天王寺中学過去問【算数】大問5解説

問題PDF
10円硬貨が6枚あり、机の上に表を上にして横一列に並べます。
1個のさいころを投げて、出た目と同じ枚数だけ左から順に硬貨を裏返す操作をします。
この操作を3回くり返した後の硬貨の表裏について考えます。
例えば、さいころの目が、順に2、3、2のとき、硬貨の表裏は図のように変化し、
「裏裏裏表表表」になります。

はじめの状態:表表表表表表
1回目の操作後の状態:裏裏表表表表
2回目の操作後の状態:表表裏表表表
3回目の操作後の状態:裏裏裏表表表


さいころの目が、順に3、6、1のとき、表は何枚になりますか。


6枚の硬貨が「裏裏裏裏裏表」になりました。
このとき、考えられるさいころの目の出方は何通りありますか。


6枚の硬貨のうち、裏は5枚になりました。
このとき、考えられるさいころの目の出方は何通りありますか。


@解説@

表を○、裏を●として、
3:●●●○○○
6:○○○●●●
1:●○○●●●
表は2枚。


左から6枚目だけを表にする。
おさえておきたい点は、表にするには偶数回、裏にするには奇数回、硬貨を裏返す
6枚目の硬貨は0回か2回裏返すことになる。
■6枚目の硬貨を2回裏返す
(6・6・5)
6を出して全部裏→再び6を出して全部表→5を出して5枚を裏にする。
3回の操作は順番を入れ替えてもOKなので3通り。

■6枚目の硬貨を1回も裏返さない
出目は5以下。
左から5枚目を裏にしなければならないので、5は必ず1回出す
(5・5・5)
1~5枚目を3回ひっくり返すと、1~5枚目まで全て裏になる。1通り

(5・1・1)(5・2・2)(5・3・3)(5・4・4)
先ほどの(6・6・5)と同じ。
5を出して1~5をすべて裏にする。同数を2回出して操作を相殺する。
各々3通りで、3×4=12通り
合計して16通り。


1枚だけ表にする。
左から6枚目だけ表にする場合→前問より16通り。

左から5枚目だけを表にしたい。
6枚目は裏にするので6を出す→●●●●●●
5枚目は表にしたいので5を出す→○○○○○●
1~4枚目は裏にしたいので4を出す→●●●●○●
(6・5・4)→順番を入れ替えて6通り
(6・4・3)(6・3・2)(6・2・1)も同じことがいえる。
6×4=24通り

左から1枚目は必ず裏になる!
どんな出目であっても操作をすれば1は必ずひっくり返されるので、
操作を3回行えば1枚目は3回ひっくり返されて裏になる。
だから、1枚目が表になることはない。
したがって、16+24=40通り
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