平均59.0点(前年比;+5.7点)
問題はコチラ→PDFファイル
大問1(小問集合)-68.3%
(1) 85.3%
1-62÷9/2
=1-36×2/9
=1-8
=-7
(2) 70.7%
(3a+b)/4-(a-7b)/8
={2(3a+b)-(a-7b)}/8
=(6a+2b-a+7b)/8
=(5a+9b)/8
(3) 78.7%
(2+√6)2
=4+4√6+6
=10+4√6
(4) 87.3%
5x-7=9(x-3)
5x-7=9x-27
4x=20
x=5
(5) 88.6%
x=4y+1 …①
2x-5y=8 …②
①を②に代入して、
2(4y+1)-5y=8
3y=6
y=2
①に代入、x=4×2+1=9
x=9、y=2
(6) 58.4%
4x2+6x-1=0
解の公式。xの係数が偶数なので、b=2b’が使える。
x=(-3±√13)/4
(7) 62.6%
33人の中央値(メジアン)は、(33+1)÷2=17番目の値。
下から足していくと4回目。
あ…4
(8) 45.6%
弧BC=2×弧ADより、∠BDE(★★)の半分が∠DBE(★)
△DBEで外角定理→x=34×3/2=51°
い…5、う…1
(9) 37.0%
底辺のAPとBPの長さが等しい。
ABの垂直二等分線を作図し、ABの中点がPである。
大問2(式の証明)-46.6%
(1) 52.7%
手順通りに計算する。
P=78のとき、Q=8-7=1、P-Q=78-1=77
P=41のとき、Q=1-4=-3、P-Q=41-(-3)=44
差は77-44=33
え…3、お…3
(2) 40.5%
これも手順通りに行う。
まず、3桁の自然数Xを与えられた文字で表すと、
X=100a+10b+c
Yは(一の位c)-(十の位b)+(百の位a)だから、
Y=c-b+a
11の倍数にしたいので、最終的に11でくくるようにもっていく。
X-Y
=(100a+10b+c)-(c-b+a)
=99a+11b
=11(9a+b)
9a+bは整数だから、11(9a+b)は11の倍数である。
したがって、X-Yの値は11の倍数になる。
@11の倍数の判定法@
奇数番目の位の和と偶数番目の位の和の差が11の倍数であれば、その数は11の倍数である。
ようは位を互い違いに足して両者の差が11の倍数になるか。
たとえば、【538296】の奇数番目は6+2+3=11、偶数番目は9+8+5=22で、
差が22-11=11だから538296は11の倍数。
【259578】の奇数番目は8+5+5=18、偶数番目は7+9+2=18で、
差が0のときも11の倍数になる(11×0=0)
どうしてこうなるのか。専修大学松戸で出題されました。
大問3(関数)-50.6%
(1) 67.7%
x=0のとき、最小値y=0
x=-4のとき、最大値y=4
0≦y≦4
①…ウ、②…キ
(2) 69.4%
y=1/4x2にx=-8、2を代入して、AとPの座標を確定する。
A(-8、16)→P(2、1)
右に10、下に15だから、傾きは-15/10=-3/2
Pから左に2、上に3移動して、切片は1+3=4
AP;y=-3/2x+4
③…ア、④…エ
(3) 14.7%!
求めたいPのx座標をtとする。P(t、1/4t2)
Q(-8、1/4t2)
RO;y=-2x
与えられた比からRの位置がポイントになるので、Rのx座標を求めてみる。
QP=t+8から、-8+(t+8)×①/④=(t-24)/4
これをy=-2xに代入してRのy座標は、-2(t-24)/4=(24-t)/2
Rのy座標で等式。
(24-t)/2=1/4t2 ←4倍
48-2t=t2
t2+2t-48
=(t+8)(t-6)=0
0<t<8より、t=6
@内分点の公式@
高校数学の美しい物語より。高校数学で習いますが、小技として知っておくと便利です。
PとQはy座標が等しいので、x座標だけを考える。
Q(-8)とP(t)を1:3に内分するRのx座標は、
PQではなく、左からQPとしています。分子の比は逆にかける。
@別解@
QR:RP=①:③を下に引き伸ばす。
APの延長線とx軸の交点をSとする。
①=8→③=24なので、S(0、24)
A(-8、16)→S(0、24)
右に8に、下に16だから、傾きは-8/16=-1/2
Aから右に8、下に4移動して、切片は16-4=12
AS;y=-1/2x+12
これとy=1/4x2との交点がPだから、
1/4x2=-1/2x+12
x2-2x+48
=(x+8)(x-6)=0
0<x<8より、x=6
大問4(平面図形)-39.8%
(1) 62.2%
外角定理を疑う。
∠ACQ=60°なので、∠QACさえわかればいい。
∠DAC=60×2=120°だから、∠QAC=120-(a+90)=30-a
△ACQで外角定理→∠AQB=(30-a)+60=90-a
イ
(2)① 55.0%
△ABP≡△ACQの証明。
△ABCと△ABDは正三角形だから、
AB=AC、∠ABP=ACQ
∠BAP=60-∠BAQ=∠CAQ
1辺と両端角が等しいので合同。
② 2.3%!!
前問の合同から、QC=PB=①
BQ=③-①=②
Pを通るBCに平行な線をひき、ABとの交点をSとする。
△BSPは正三角形でPS=①
△BQR∽△SPRより、BR:RS=②:①
△ABCと△BSPは正三角形で相似。
△ABCの面積比は、③×③=9
△BSPは、①×①=1
△BRPは、1×②/③=2/3
△BRP:△ABC=2/3:9=2:27
したがって、△BRPは△ABCの2/27倍。
か…2、き…2、く…7
大問5(空間図形)-15.6%
(1) 29.9%!
△APQと△EMNは直角二等辺三角形。
辺の比は1:1:√2で、PQ=3√2cm、MN=4√2cm
PMは上のような直角三角形で三平方の定理を用いて5√2cm。
QNも同様。
四角形MPQNの周りの長さは、3√2+4√2+5√2×2=17√2cm
け…1、こ…7、さ…2
(2) 1.2%!!
四角錘がナナメに傾いている。
長方形AEGCで区切ると四角錘A―MPQNは左右対称に2等分される。
PQとMNの中点をそれぞれR、Sとする。
△CPRは直角二等辺だから1:1:√2よりCR=2√2cm
同様にAC=8√2cmで、AR=8√2-2√2=6√2cm
△ASRの面積は、6√2×7÷2=21√2cm2
(1)より、MN=PQ=4√2cm
△ASRを底辺と見立て、断頭三角柱の考えを用いて左右一括で処理する。
高さの平均はMNとPQとA(0cm)の平均で、(4√2+4√2+0)÷3=8√2/3cm
したがって、四角錘A―MPQNの体積は、21√2×8√2/3=112cm3
し…1、す…1、せ…2
大問1
ここだけで配点が46点もある。失点は防ぎたい。
(2)通分時は分子のカッコを忘れずに!
(8)弧が半分になると円周角も半分。
(9)作図もとりやすかった。
大問2
(1)差の差を出す。
(2)易化。立式しやすかった。
大問3
(2)までは取りたい。
(3)求めたいPのx座標を文字に置き換え、どこかで等式をつくる。
新たに登場したRの座標に目をつけたい。
また、1:3をx軸まで引き伸ばすとAのx座標が①になる。
大問4
(1)求めたい角で外角定理を使う場合、どことどこの角が欲しいか。
(2)①オーソドックスな証明。
②いろんなやり方がある。
解説では△ABCが1辺③の正三角形だから、1辺①の正三角形をつくって△BRPを求めた。
大問5
(2)ゴリゴリのテクニックを使ってしまった:( ´ω` ):
対称面を底面とみなす断頭三角柱は幅広く使える。
ラストのスクリーン問題の別解にて、同じテクニックを駆使しています。
こちらは断頭を前提にした設問です。
@2022年度・都立解説@
数学(分割後期) 社会…平均49.2点 理科…平均61.4点 英語…平均61.1点
公立高校入試解説ページに戻る
コメント