2022年度 東京都立高校入試過去問【数学】解説

問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合)

(1)
1-62÷9/2
=1-36×2/9
=1-8
-7

(2)
(3a+b)/4-(a-7b)/8
={2(3a+b)-(a-7b)}/8
=(6a+2b-a+7b)/8
=(5a+9b)/8

(3)
(2+√6)2
=4+4√6+6
=10+4√6

(4)
5x-7=9(x-3)
5x-7=9x-27
4x=20
x=5

(5)
x=4y+1 …①
2x-5y=8 …②
①を②に代入して、
2(4y+1)-5y=8
3y=6
y=2
①に代入、x=4×2+1=9
x=9、y=2

(6)
4x2+6x-1=0
解の公式です。xの係数が偶数なので、b=2b’が使える。
x=(-3±√13)/4

(7)
33人の中央値(メジアン)は、(33+1)÷2=17番目の値。
下から足していくと4回目。
あ…4

(8)

弧BC=2×弧ADより、∠BDEの半分が∠DBEである
∠DBE=34÷2=17°
△DBEで外角定理→x=34+17=51°
い…5、う…1

(9)

底辺のAPとBPの長さが等しい
ABの垂直二等分線を作図し、ABの中点がPである。

大問2(式の証明)

(1)
手順通りに計算する。
P=78のとき、Q=8-7=1、P-Q=78-1=77
P=41のとき、Q=1-4=-3、P-Q=41-(-3)=44
差は77-44=33
え…3、お…3

(2)
これも手順通りに行えるかどうか。
まず、3桁の自然数Xを与えられた文字で表すと、
X=100a+10b+c
Yは(一の位c)-(十の位b)+(百の位a)だから、
Y=c-b+a
11の倍数にしたいので、最終的に11でくくるようにもっていく。

X-Y
=(100a+10b+c)-(c-b+a)
=99a+11b
=11(9a+b)
9a+bは整数だから、11(9a+b)は11の倍数である。
したがって、X-Yの値は11の倍数になる。

@11の倍数の判定法@
奇数番目の位の和と偶数番目の位の和の差が11の倍数であれば、その数は11の倍数である。
ようは位を互い違いに足して両者の差が11の倍数になるか。
たとえば、【538296】の奇数番目は6+2+3=11、偶数番目は9+8+5=22で、
差が22-11=11だから538296は11の倍数。
【259578】の奇数番目は8+5+5=18、偶数番目は7+9+2=18で、
差が0のときも11の倍数になる(11×0=0)。

2020年度 専修大学松戸中学過去問【算数】大問7解説

どうしてこうなるのか。専修大学松戸で出題されました。


大問3(関数)

(1)
x=0のとき、最小値y=0
x=-4のとき、最大値y=4
0≦y≦4
①…ウ、②…キ

(2)

y=1/4x2にx=-8、2を代入して、AとPの座標を確定する。
A(-8、16)→P(2、1)
右に10、下に15だから、傾きは-15/10=-3/2
Pから左に2、上に3移動して、切片は1+3=4
AP;y=-3/2x+4
③…ア、④…エ

(3)

求めたいPのx座標をtとする。P(t、1/4t2
Q(-8、1/
4t2
RO;y=-2x

与えられた比からRの位置がポイントになるので、Rのx座標を求めてみる。
ここで内分点の公式を使います。

高校数学の美しい物語より。高校数学で習いますが、小技として知っておくと便利です。
PとQはy座標が等しいので、x座標だけを考える。
Q(-8)とP(t)を1:3に内分するRのx座標は、

PQではなく、左からQPとしています。分子の比は逆にかける。
(*公式を使わなくてもQP=t+8から、-8+(t+8)×1/4=(t-24)/4でもOK
これをy=-2xに代入して、Rのy座標は、-2×(t-24)/4=(24-t)/2

Rのy座標で等式。
(24-t)/2=1/4t2 ←4倍
48-2t=t2
2+2t-48
=(t+8)(t-6)=0
0<t<8より、t=6

@別解@

QR:RP=を下に引き伸ばす。
APの延長線とx軸の交点をSとする。
=8→=24なので、S(0、24)
A(-8、16)→S(0、24)
右に8に、下に16だから、傾きは-8/16=-1/2
Aから右に8、下に4移動して、切片は16-4=12
AS;y=-1/2x+12
これとy=1/4x2との交点がPだから、
1/4x2=-1/2x+12
2-2x+48
=(x+8)(x-6)=0
0<x<8より、x=6

大問4(平面図形)

(1)

外角定理を疑う。
∠ACQ=60°なので、∠QACさえわかればいい。
∠DAC=60×2=120°だから、∠QAC=120-(a+90)=30-a
△ACQで外角定理→∠AQB=(30-a)+60=90-a

(2)①
△ABP≡△ACQの証明。

△ABCと△ABDは正三角形だから、
AB=AC、∠ABP=ACQ
∠BAP=60-∠BAQ=∠CAQ
1辺と両端角が等しいので合同。



前問の合同から、QC=PB=
BQ=

Pを通るBCに平行な線をひき、ABとの交点をSとする。
△BSPは正三角形でPS=
△BQR∽△SPRより、BR:RS=

△ABCと△BSPは正三角形で相似
△ABCの面積比は、×=9
△BSPは、×=1
△BRPは、1×/=2/3
△BRP:△ABC=2/3:9=2:27
したがって、△BRPは△ABCの2/27倍。
か…2、き…2、く…7


大問5(空間図形)

(1)

△APQと△EMNは直角二等辺三角形
辺の比は1:1:√2で、PQ=3√2cm、MN=4√2cm

PMは上のような直角三角形で三平方の定理を用いて5√2cm。
QNも同様。
四角形MPQNの周りの長さは、3√2+4√2+5√2×2=17√2cm
け…1、こ…7、さ…2

(2)

四角錘がナナメに傾いている。
長方形AEGCで区切ると四角錘A―MPQNは左右対称に2等分される

PQとMNの中点をそれぞれR、Sとする。
△CPRは直角二等辺だから
1:1:√2よりCR=2√2cm
同様にAC=8√2cmで、AR=8√2-2√2=6√2cm
正面から見た図を頼りに△ASRの面積は、6√2×7÷2=21√2cm2

(1)より、MN=PQ=4√2cm
△ASRを底辺と見立て、断頭三角柱の考えを用いて左右一括で処理する
高さの平均はMNとPQとA(0cm)の平均で、(4√2+4√2+0)÷3=8√2/3cm
したがって、四角錘A―MPQNの体積は、21√2×8√2/3=112cm3
し…1、す…1、せ…2


大問1
ここだけで配点が46点もある。失点は防ぎたい。
(2)通分時は分子のカッコを忘れずに!
(8)弧が半分になると円周角も半分。
(9)作図もとりやすかった。
大問2
(1)差の差を出す。
(2)易化。立式しやすかった。
大問3
(2)までは取りたい。
(3)求めたいPのx座標を文字に置き換え、どこかで等式をつくる。
新たに登場したRの座標に目をつけたい。
また、1:3をx軸まで引き伸ばすとAのx座標が①になる。
大問4
(1)求めたい角で外角定理を使う場合、どことどこの角が欲しいか。
(2)①オーソドックスな証明。
②いろんなやり方がある。
解説では△ABCが1辺③の正三角形だから、1辺①の正三角形をつくって△BRPを求めた。
大問5
(2)ゴリゴリのテクニックを使ってしまった:( ´ω` ):
対称面を底面とみなす断頭三角柱は幅広く使える。

2021年度 宮崎県公立高校入試過去問【数学】解説

ラストのスクリーン問題の別解にて、同じテクニックを駆使しています。

2022年度 甲陽学院中学2日目過去問【算数】大問3解説

こちらは断頭を前提にした設問です。
公立高校入試解説ページに戻る

◆menu◆ 公立高校入試…関東圏メイン。千葉だけ5教科あります。%は正答率。
国私立高校入試…数学科のみ。ハイレベルな問題をそろえてみました。
難関中算数科…中学受験の要。数学とは異次元の恐ろしさ(;´Д`)
難関中社会科…年度別。暗記だけじゃ無理な問題がいっぱい!
難関中理科…物化生地の分野別。初見の問題を現場思考でこなせるか。
難問特色検査…英国数理社の教科横断型思考問題。
センター試験…今のところ公民科だけ(^-^;ニュース記事だけじゃ解けないよ!
勉強方法の紹介…いろいろ雑記φ(・・。)
QUIZ…☆4以上はムズいよ!
noteも書いています(っ´ω`c)
入試問題を題材にした読み物や個人的なことを綴っていこうと思います。
気軽にお立ち寄り下さい(*^^*)→サボのnote
サボのツイッターはコチラ→

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。

CAPTCHA