問題ＰＤＦ
図のような正六角形があります。
辺の途中にある黒い点はそれぞれの辺を３等分する点で、正六角形の面積は54ｃｍ2です。
（１）
四角形ＡＢＣＤの面積を求めなさい。
（２）
三角形ＡＥＦの面積を求めなさい。
（３）
三角形ＤＧＨの面積を求めなさい。
（４）
四角形ＡＢＣＤと四角形ＩＪＫＬの２つの四角形が重なる部分の図形の面積を求めなさい。
＠解説＠
（１）
本番では答案に考え方も書く。
正六角形の分割は中学受験で頻出なので慣れておこう。
上図のように６等分する。
１つの二等辺三角形は54÷６＝９ｃｍ2
隣辺比から面積比は④：⑤、⑨＝９ｃｍ2だから④＝４ｃｍ2
今度は上図のように正六角形を６等分する。
外側延長で正三角形を作成。これは６等分した正三角形と合同で９ｃｍ2
同様に隣辺比から面積比は⑨：⑦で、⑨＝９ｃｍ2だから⑦＝７ｃｍ2
四角形ＡＢＣＤの面積は正六角形から周りの４ヶ所を除外して、
54－（４＋７）×２＝32ｃｍ2
（２）
先ほどの外側延長で作った正三角形を利用する。
外にある正三角形の１辺を③とおく。
四角形ＡＭＩＥに着目すると、２組の対辺が平行だから平行四辺形。
ＩＥ＝ＭＡ＝①
つづいて、ＮＰに補助線をいれる。
四角形ＡＢとＮＰ、ＥとＦは左右対称。（青線の台形を意識すると対称性が見えやすい）
四角形ＡＭＩＥとＮＯＬＦは対称性から合同の平行四辺形である。
ＬＦ＝ＩＥ＝①
ＩＬ＝④なので、ＥＦ＝④－①－①＝②
台形ＭＩＬＯの面積は、（１）で出した台形と同じ７ｃｍ2
上底と下底の比から△ＡＥＦの面積は、７×②/⑦＝２ｃｍ2
（３）
外側延長で１辺③の正三角形を作成。ＡＫ＝⑤
ＬＤとＡＫは平行で、ＬＤ：ＡＫ＝ＬＧ：ＧＫ＝①：⑤
△ＱＤＲと△ＱＬＫの相似比は１：２。
ＤＲ＝⑥÷２＝③
ＤＨとＲＫ、ＤＲとＨＫは平行だから四角形ＤＨＫＲは平行四辺形。
ＤＲ＝ＨＫ＝③
ＬＧ：ＧＨ：ＨＫ＝①：②：③
二等辺三角形ＱＬＫは（１）で出した二等辺と同じ４ｃｍ2
面積比から四角形ＤＬＫＲの面積は３ｃｍ2
上底と下底の比から△ＤＧＨの面積は、３×②/⑨＝２/３ｃｍ2
（４）
ここまで到達できたらサービス問題。
図形全体が点対称なので、下２つの三角形は△ＡＥＦと△ＤＧＨと合同である。
長方形ＡＢＣＤから周りの４ヶ所を除外する。
32－（２＋２/３）×２＝80/３ｃｍ2
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