2019年度 洛南高等学校附属中学入試問題【算数】大問5解説

図のような、1辺の長さが6cmの立方体ABCD-EFGHがあります。
辺BC、CDの真ん中の点をそれぞれI、Jとし、
この立方体を点I、J、Gを通る平面で切って2つの立体にわけるとき、次の問いに答えなさい。

(1)
切り口の辺は下の展開図のどこにできますか。線をかきこみなさい。

(2)
切ってできた2つの立体のうち、点Aを含むほうの立体を考えます。
切り口の平面を底面として、1秒あたり9cm3の水を注ぎます。
水面が次の(ア)~(ウ)の点に達するのは、水を注ぎ始めてから、それぞれ何秒後ですか。
(ア)B (イ)F (ウ)A


@解説@
(1)
展開図問題。
頂点と点I・Jを書いて結ぶ。

(2)
どんな立体になるか、空間認識力が問われる(;`ω´)

△IGJを底面とした図形を捉えたいが、
これを下にもってきた図形を描くのが難しい・・。
ポイントは、水面は△IGJと平行であること!

IJ//BD⇒Dが水に触れる。
IG//BK、JG//DK
平行線を頼りに、LとMは辺の中点にくる。
三角錐K-BCD…6×6÷2×12÷3=72cm3
K-LGM…3×3÷2×6÷3=9cm3
G-ICJもこれと同じ体積。
(72-9-9)÷9=6秒後



Hが水面に触れる。
IJ//OP、IG//ON、JG//PN。
△IGCと△OFBは、直角と同位角で一辺両端角が等しく合同。
OB=IC=3cm
OB:BF=1:2から、CN=18cmとわかる。
右側の側面も同様。

体積は、立方体から前と裏をひいた方がいいかも、、
QとRは辺の中点。
延長線をひいて、三角錐S-EFHの7/8倍(体積比:(2×2×2-1×1×1)/2×2×2)。
AQR-EFH(裏)…6×6÷2×12÷3×7/8=63cm3
立方体から、これとG-ICJをひく。
(6×6×6-63-9)÷9=16秒後

@別解@
あとで見直したら気づいた…。
N-OCPから、N-FGHとF-OBQとH-RDPをひいてもできますね(^^;;



G-ICTと合同の三角錐A-ETUが反対側にできる。
(6×6×6ー9×2)÷9=22秒後

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