2024年度 大阪府公立高校入試C問題過去問【数学】解説

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大問1(小問集合)

(1)
(2x-3y)/4+(x+4y)/6
={3(2x-3y)+2(x+4y)}/12
=(6x-9y+2x+8y)/12
=(8x-y)/12

(2)
(1+√6)2-(√8+10√3)/√2 ←√8/√2+10√3/√2
=1+2√6+6-2-5√6
=5-3√6

(3)
(x-7)2-4(x-7) ←X=x-7とする
=X2-4X
=X(X-4) ←戻す
=(x-7)(x-7-4)
=(x-7)(x-11)=0
x=7、11

(4)
y=-1/4x2は上に凸のグラフ。
x=-6を代入すると、y=-1/4×62=-9
ということは、x=a(a>0)のとき、最小値y=-16
-16=-1/4a2
2=64
a>0より、a=8
x=0のとき、最大値b=0
a…8、b…0

(5)

x=B/Aに置き換える。最も小さいB/Aを考える。
まず、Bを使って分母の12と20を約分で消す必要がある。
Bは12と20の公倍数、分子のBが最も小さくなるのは最小公倍数。
B→12と20の最小公倍数である60

分母のAを大きくするとB/Aは小さくなる。
A→35と21の最大公約数である7
したがって、x=60/7

(6)
【A】1・3・5
【B】4・6・8
a=残ったA2枚、b=残ったB2枚、c=取った2枚の和。
条件はa<c<b
aの最大値は3+5=8、bの最小値は4+6=10なので、a<bは必ず成り立つ。
条件が崩れる可能性があるのは、a<cかc<b。余事象から攻める。
●a>cになる場合
Aで1を取ると、a=3+5=8
8未満となるcは、1+4、1+6の2通り。
Aで3を取ると、a=1+5=6
cは最小でも3+4=7だから、a<cになる。

●b>cになる場合
Bで8を取ると、b=4+6=10
11以上となるcは、8+3=11、8+5=13の2通り。
Bで6を取ると、b=4+8=12
cは最大でも5+6=11だから、c<bになる。
余事象は4通り、全体は3×3=9通りだから確率は
5/9。

(7)

aの百の位をx、十の位をy(y≠0)、一の位をzとする。
a-b
=(100x+10y+z)-(100y+10x+z)
=90x-90y
=90(x-y)

(a-b)に90(x-y)を代入して変形するとこうなる。
自然数になる→ルートを外すには、x-y=5(*√5×√5=5)
y≠0と合わせると、(x、y)=(9、4)(8、3)(7、2)(6、1)
x+y+z=20より、z≦9と合わせると(x、y、z)=(9、4、7)(8、3、9)
よって、839と947。

(8)
答案では途中の式を含めて求め方を説明する。

直線ℓの傾き-1/2に注目する。
B(-3、9a)→A(1、b)
右に4、下に(b-9a)だから、傾きで等式を立てると、(b-9a)/4=-1/2
4倍して、-9a+b=-2 …①

赤線の∽、もしくはBO;y=-3axにx=1を代入して、
D(1、-3a)
四角形ABCDの面積で等式。
(9a+b+3a)×4÷2=17
12a+b=17/2
24a+2b=17 …②

②-①×2をすると、42a=21
a=1/2
①に代入、-9×1/2+b=-2
b=5/2
a…1/2、b…5/2


大問2(平面図形)

(1)①
半径2cm、中心角aの扇形の面積を求める。
2×2×π×a/360=1/90πacm2


△BDO∽△AECの証明。

弧DCに対する円周角より、∠DBO=∠EAC(×
中心角の大きさは弧の長さに比例する→2∠BOD()=∠AOB(●●
円周角は中心角の半分だから、∠ACE=1/2∠AOB(●●)=
∠BOD=∠ACE
2角が等しいので∽。

(2)①

∠BAC=90°、BC=4cmから、△ABCで三平方を使えばABが求まる。
ACの長さが知りたい。
先ほどの△BDO∽△AECより、△BDOはBO=DO(半径)で二等辺だから、
これと相似にある△AECも二等辺である
AC=EC=3cm
△ABCで三平方→AB=√7cm



角度から図形の性質をさぐる。
対頂角と前問の∽の対応する角より、△FOCは2つの底角が等しい二等辺三角形
AF:FCに目が行きやすいが、直接BFを斜辺とする直角三角形をつくってしまう

Fから垂線をひき、足をGとする。
△FOCは二等辺だから、OG=GC=1cm
共通角と直角の2角相等より、△ABC∽△GFC
CA:BA=CG:FGだから、FG=√7×1/3=√7/3cm


△BFGで三平方→BF=2√22/3cm

@別解@
まだ何かないか、別の角度から分析してみました。

△BDO∽△AECの対応する辺であるBD:AE=②:③とする。
弧ABに対する円周角から、∠ADB=
2角相等で△BDO∽△BEDより、△BEDも二等辺三角形
DE=②

二等辺三角形BEDの底角を×とする。
対頂角で∠AEO=×、弧CDに対する円周角で∠DAF=
×
弧AB=2×弧BD→∠AOE=●●、△OCFで外角定理→DFA=●●
2角相等により、△AEO∽△DAF
EO:AF=AE:DAだから、AF=1×⑤/③=5/3cm
△ABFで三平方→BF=2√22/3cm


大問3(空間図形)

(1)①

△BCFは直角二等辺→辺の比は1:1:√2、FC=4√2cm
回転体は底面が半径2√2cmの円、高さの合計4√2cmの円錐である。
2√2×2√2×π×4√2÷3=
32√2/3πcm3



ECを対角線とする直方体に目を向ける。
EC=√(22+42+42)=6cm



離れている辺の長さが等しい。2つの面を展開する。
平行線から、△CIJ∽△CEF、△CJK∽△CFB
EI=JK=xとする。
△CFBは直角二等辺→相似から△CJKも直角二等辺なので、CJ=√2x

CF=4√2cm
IC:JC=EC:FCだから、IC=√2x×6/4√2=3/2x
EC=x+3/2x=5/2x=6
x=6÷5/2=12/5cm

(2)①

Aから垂線をおろし、2cmもおろす。
左側の赤線で∽、?=2×3/4=3/2cm
OM=3/2+2=7/2cm



同様にNLを求めると、NL=1/2+2=5/2cm

立体を面NBCLで分割して、断頭三角柱で体積を求める。
底面は背後の四角形LGCMで捉えるとわかりやすい。
立体NFB-LGC…底面は△LGC、高さはNL・FG・BCの平均
立体NBO-LCM…底面は△LCM、高さはNL・BC・OMの平均
求積すべき立体の体積は、
3×4÷2×(5/2+4+4)/3+1×4÷2×(5/2+7/2+4)/3
=21+20/3=83/3cm3


大問1
(2)後半はそれぞれの分子に÷√2がいいかな?
(5)中学受験でも出題される。
(6)条件が複雑だが、9通りしかないので総当たりで調べてもいい。
a<bが必ず成り立つとわかれば、aとc、bとcの兼ね合いを調べればOK。
(7)比較的取りやすいかなと。
a-bをxyzを用いて示す。y≠0に注意!
(8)手順をきちんと追えるか。
グラフ上にあるA、Bの座標を文字で表す。未知数がa、bの2種類→連立
1つはℓの傾き、もう1つは四角形ABCDの面積から立式する。
大問2
(1)②証明は難しくない。
(2)②迷子になりやすい。ポイントは△FOCが二等辺であること。
Fは二等辺の頂角の頂点。Bは底辺OCの延長線上にある。
ここから二等辺を垂直に二等分して三平方に持ち込む。形で覚えてしまった方が早い。
大問3
(1)③離れている辺をxとする。どっちから攻めるべきか。
△CJKが直角二等辺なので、JK側からスタートするとCJ=√2xとスッキリする。
(2)②お馴染みの断頭。背面が底面BCGFに対して垂直なのがありがたかった。
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コメント

  1. サボテンで怪我した男 より:

    今年のC問題めっちゃ簡単じゃないですか?問われ方も比較的単純で、時間もかなり余りますし。πのつけ忘れなど単純なミスをしないようにしたいですね。まあ一番難しかったのは間違いなく2017年のときでしょうが。

    • 家庭教師サボ より:

      コメントありがとうございます。
      2017年はヤバそうな臭いがしました(;´Д`)公立入試の世界でも年度や場所によって教委会のやらかしが見受けられます。
      今年の大阪は構成は例年通りでしたが、平均点はあがりそうです。とくに空間は正答率が高くなると思います(´ω`)

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