2018年度 京都府公立高校入試前期【数学】解説

大問3からレベルが上がり、最後の規則は複雑です。
問題はコチラから→リセマムさん
京都府教育庁指導部にもありました。
2019年度解説はコチラ⇒前期 中期

大問1(小問集合)

(1)-22-8÷(-5)
=-4+8/5=-12/5

(2)4a2b÷(-2/5ab)×7b2
=-70ab2

(3)(2x-1)2-(x+3)(x-6)
=4x-4x+1-(x2-3x-18)
=3x2-x+19

(4)n角形の内角の和→180(n-2)を使う。
180(30-2)÷30=168°

(5)連立方程式
代入法でも加減法でも。
x=5、y=-4

(6)いきなり代入するのではなく、式を整理する。
2y-2xy=xy(x-2)
=(√6+2)(√6-2)(√6+2-2)=(6-4)・√6=2√6

(7)(3x-5)(x+1)=0

(8)(yの増加量)/(xの増加量)=傾き
(yの増加量)/6=4/3  yの増加量=8

(9)なかなか面白い出し方ですね。
Xをつかって、平均値=中央値となる一次方程式を立てる。
中央値は、5とXの平均になる
(2+2+5+X+13+15)/6=(5+X)/2
37+X=3(5+X)
2X=22
X=11

大問2(関数)

(1)
A(-3、12)をy=ax2に代入する。
12=9a  a=3/4

(2)
B(3、12) C(0、24)
傾きは右に3で下に12だから、-4
よって、y=-4x+24

(3)
ひし形全体の面積が、6×24×1/2=72cm2
△ABCはその半分なので36cm2
△ADCが12cm2なので、△ABCの面積の3分の1である
BCを底辺にみると、BD:DC=2:1にする。
よって、D(1、20)



大問3(確率)

(1)
袋Aで1がでたら、袋Bで〔1・2〕以外を出す確率は4/5
袋Aで2がでたら、袋Bで〔1・2〕以外を出す確率も4/5
袋Aで3がでたら、袋Bで〔3・4〕以外を出す確率も4/5  ・・・
袋Aで4~8をだしても同様。よって、4/5

(2)
袋Aの数字で場合分け。
袋Aで8を出す。袋Bで何をだしても積は8の倍数となる。→5通り
袋Aで4を出す。〔2の倍数×4の倍数=8の倍数〕なので、袋Bで偶数を出せばよい→5通り
袋Aで2を出す。4の倍数をもつ〔3・4〕〔7・8〕→2通り
偶数である6も、2と同様。→2通り
他の奇数(1、3、5、7)は〔7・8〕のみ→各1通りで計4通り
袋Aと袋Bの取り出し方は、8×5=40通りなので、
(5+5+2+2+4)/40=18/40=9/20

大問4(平面図形)

(1)
△DCM∽△CAMの証明。
ACに補助線。
問題文から∠CDM=90°
円周角定理から、直径AMに対する円周角∠ACM=90°
∠CMDが共通角。 2角が等しいので相似。

(2)
AFに補助線。
直径AMに対する円周角から、∠AFM=90°
問題文から∠EDM=90°
△FMAと△DMEにおいて、∠EMDが共通角だから、
残りの角も、∠FAM=∠DEMとなる。
半径から、AM=EM=4cm
1辺と両端角から、△FMA≡△DEMとなる。

上の合同から、FM=DM
(1)の相似を利用。
AM:CM=CM:DM=4:3  DM=3×3/4=9/4cm
したがって、FM=9/4cm

(3)
EMを右下にのばし、円周との交点をGとおく。
2つの直径に挟まれる2つの三角形は合同。△MGB≡△MEA
つまり、△MEAの面積を調べればよい
高さEDは、△EDMで三平方。
ED=√(162 -(9/4)2 )=5/4・√7
△EDM=4×5/4・√7×1/2=5/2・√7cm2

大問5(空間図形)

(1)
△ABCは、1:1:√2の直角三角形→AC=6√2
その半分で、AH=3√2cm

正四角錘の高さOHは、△OAHで三平方。
OH=√{(6√3)2-(3√2)}=√(108-18)=√90=3√10cm
よって、体積は、6×6×3√10×1/3=36√10cm3

(2)
方針:O-ABCD(正四角錘全体)→O-ABD→B―OPQ
O-ABDは、正四角錘の半分。
O-ABD:B-OPQ=△OAD:△OPQ
(底面を△OADとすれば、高さが同じだから)
PとQは中点なので、辺の比→面積比から、△OAD:OPQ=4:1
以上から、36√10×1/2×1/4=9/2・√10cm3

(3)
△OABを正面にして、平面で考えよう。
点Eを作図し、PHに補助線。

点Pと点Hはともに中点。
△ABOで中点連結定理が使える(OBを底辺としてみるとわかりやすい)
PH//OB、PH:OB=1:2
△EPH∽△EBOとなり、辺の比は1:2
OE:EH=2:1
(1)より、OHは3√10だから、3√10×2/3=2√10cm



大問6(規則)

(1)
1~23の玉を3コずつ入れていく。
23÷3=7・・2
→8箱目の2つ目に23の玉が入り、余りの1つに次の1の玉が入る(表でも確認)。
8箱目の玉は〔22・23・1〕。23個いれるたびに、余りの1で1コずつズレる
つぎの23の玉がはいるときは、1コズレて、〔23・1・2〕となる。
よって、求める解は2回目の23の玉をいれるとき
もっというと、はじめの1の玉から、23×2=46個目の玉をいれたとき。
玉は1箱3つずつなので、46÷3=15・・1 →16箱目
箱の種類はA~Dの4種類。16÷4=4 →余りなしなのでD

(2)
8回目の1の玉→1~23を7周+8回目の1=23×7+1=162個目
前問と同様。
162÷3=54  →54箱目
54÷4=13・・2  →余り2からB

(3)
これはキツイっすな(´゚д゚`)
1の玉を聞かれているので、1の玉が何箱目にくるかを考える。
1の玉は23ずつ足していって、
1個目、24個目、47個目、70個目、93、116、139、162、185、207、230・・
1箱に3コずつだから、上の数字を÷3し、あまりがでたら商に+1をする。すると、、
1箱目、8箱目、16箱目、24、31、39、47、54、62、70、77箱目・・に1の玉がくる。(基本的に+8で、3回ごとに+7
○箱目÷4の余りで箱の種類が確定するので、1の玉が入る箱は、
A、D、D、D、C、C、C、B、B、B、A・・・
(1)でやったように、余りの1で玉が1個ずつズレるので、3個ズレると手前の箱に収まる
(A・D×3・C×3・B×3)と計10周の【1~23】がきて、次に1の玉が箱Aに入る。答えは、230個目の1で、77箱目。

式であらわすと、
23×(1+3×3)+1=230個目
230÷3=76・・2  →77箱目

@@

30回目にAの箱に入る1を求める。
ここは捨てて良いと思います(笑)

1の玉が入る箱の種類は、
A/DDD・CCC・BBB・AAA/DDD・CCC・BBB・AAA/DD・・・と続く。
30回目のAがくる箱の順番が答え。

DDD・CCC・BBB・AAAで区切りたいところですが、サボのおすすめは【ADDDCCCBBBAA~(次のAの手前まで)】。
1の玉がAに入る1回目は1箱目、〔1、2、3〕
2回目は前の問題より77箱目、〔22、23、1〕
次は+8して、85箱目、〔23、1、2〕
次は+8して、93箱目、〔1、2、3〕
となると、92箱目がちょうど〔21、22、23〕と区切り良く終わるので、93箱目を新しい周期のはじまりとすれば、1箱目の〔1、2、3〕と同じ規則でスタートし、23コの玉をかたまりとして倍にしやすいからです。

1周期をADDDCCCBBBAA~(次のAの手前)とし、92箱分とする
30÷3=9周期・・2
1周期が92箱分で、最後の余り2は〔ADDDCCCBBBA〕の85箱分。
92×9+85=913箱目

最後は他に良い方法があるかも(汗)見つけた方はお問い合わせにて教えてくださいませm(_ _ )m
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