2015年度　群馬県公立高校入試問題過去問【数学】解説

関東ラストの群馬県の数学解説です。最後が鬼問。
問題ＰＤＦ

大問１（小問集合）

（１）
①１－（－３）＝１＋３＝４
②２ａ＋ａ/３＝７/３・ａ
③４（２ｘ－ｙ）－３（ｘ＋ｙ）
＝８ｘ－４ｙ－３ｘ－３ｙ
＝５ｘ－７ｙ

（２）
（３ｘ＋１）²
＝９ｘ²＋６ｘ＋１

（３）
４ａ²－１２ａｂ
＝４ａ（ａ－３ｂ）

（４）連立方程式
加減法でも代入法でも。
ｘ＝３、ｙ＝－２

（５）因数分解
ｘ²＋ｘ－１２
＝（ｘ＋４）（ｘ－３）＝０
ｘ＝－４、３

（６）
平方数をルートに直すと、
１＝√１、２＝√４、３＝√９、４＝√１６、５＝√２５・・
２、３、４が答え。

＠別解＠
√１＜√２＜√４　から　１＜√２＜２
√１６＜√１９＜√２５から、４＜√１９＜５
√２＜ｘ＜√１９は、整数でいえば１＜ｘ＜５となる。
ｘ＝２、３、４

（７）
空間認識力が求められますが、立方体の１つ面と直角になる面は、
その面と平行となる反対の面以外の４つの面。
アと平行となる反対の面はエ。
アエ以外の４つが答え。

（８）
カードは元には戻さないので、全体は５×４＝２０通り
４の倍数となる数字を地道に調べる。１２、２４、３２、５２の４通り（４４はなし！）
確率は、４/２０＝１/５

大問２（数量変化・図形）

（１）①
８分で２０Ｌ減るので１分あたりでは、２０÷８＝５/２L

②
グラフの式を求める。
右に８いって２０下に下がるから、前問より傾きは－５/２
切片は１２０とグラフにあり。
ｙ＝－５/２ｘ＋１２０

③
前の式にｙ＝０を代入。
０＝－５/２ｘ＋１２０
ｘ＝４８
４８分後

（２）①
多角形の内角の和の公式を利用。１８０（ｎ－２）
１８０×（７－２）＝９００°

②
外角の和は常に一定。
平行移動して１つの角に集中させる作図法もあるが、問題文では計算で求める。
各々の７つの角に直線１８０°をひき、そこから前問で求めた七角形の内角の和を引く。
１８０×７－９００＝３６０°となる。

大問３（平面図形）

二等辺のなかに二等辺の構図。
（１）
等しい辺や角に記号をふる。
△ＤＡＣが二等辺。∠ＣＡＤ＝●とすると、∠ＡＣＤ＝●
△ＤＡＣの外角定理から、∠ＣＤＡ＝●●
△ＣＤＢも二等辺だから∠ＣＢＤ＝●●
△ＡＢＣも二等辺なので、∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ＝●●
すると、∠ＡＢＣ＝∠ＣＢＤ（共通角●●）と、∠ＡＣＢ＝∠ＣＢＤ＝●●となり、
２角が等しいので相似。

（２）
前の相似を活用。ＡＢ＝ｘとおく。
△ＡＢＣ：△ＣＢＤ＝ｘ：２
ＡＢ：ＣＤ＝ｘ：２
ＢＣ：ＢＤ＝２：（ｘ－２）
ｘ：２＝２：（ｘ－２）
内項と外項の積から、
ｘ（ｘ－２）＝４
ｘ²－２ｘ－４＝０
解の公式、ｘ＝１±√５
ｘ＞０より、ｘ＝１＋√５

＠別解＠
前の問題から、角度を求めていくと△ＡＣＤが３６°、３６°、１０８°となる。
すると、今年の神奈川大問５（ウ）のような黄金比の図形となる。
ＡＣ＝ｘ、ＤＡ＝ＤＣ＝２ｃｍ、∠ＡＤＣ＝１０８°で、∠ＡＤＥ＝７２°となるような線をひく。
（Ｅはこの線とＡＣ上の交点）
角度を求めると△ＡＤＥは二等辺でＡＤ＝ＡＥ＝２ｃｍで、ＥＣ＝ｘ－２ｃｍ
△ＡＣＤ∽△ＤＣＥ（ともに二等辺）で、比はｘ：２なので、上のような比例式を解いて終わり。
一種の黄金比を知らないと解けない方法・・。

大問４（数量変化）

栃木と同様に立体図形がからむ。
（１）
記述式だが難しくはない。
Ｐ：Ｂ→Ｃ→Ｄで９ｃｍ動く。
Ｑ：Ｂ→Ａ→Ｃで、ＡＣは△ＡＢＣが３：４：５の直角三角形から５ｃｍ
よって、９ｃｍ
ＰとＱは毎秒１ｃｍと同じ速さで同じ距離を動くから、同じ時間でゴールに到着する。

（２）①
Ⅰ：先にＰがＣに到着。
Ⅱ：４秒後にＱがＡに到着。このときＰはＣＤ上を通過中。
アＣＤ、イＢＡ

②
０≦ｘ≦３のときは、Ｐはｘｃｍ/ｓ、Ｑはｘｃｍ/ｓ動く。
四面体ＢＥＰＱは、底辺が△ＢＰＱで高さ６ｃｍの三角錐。
ｙ＝ｘ×ｘ×１/２×６×１/３＝ｘ²
ｙ＝ｘ²

③
公式解答参照。
変化するところに注意する！
変換点はＰがＣにつくときとＱがＡにつくとき。

＠ＰがＣにつくとき＠
３秒後までの話だから、前問の式を利用。
ｙ＝３²＝９ｃｍ²
原点から（３、９）まで直線。
＠ＱがＡにつくとき＠
ＰがＣについた後、四面体ＢＥＰＱの底面△ＢＰＥは等積変形で一緒。
高さだけ３→４秒のときに１ｃｍ上昇し、高さは４ｃｍとなる。
そのときの四面体ＢＥＰＱの体積は、６×３×１/２×４×１/３＝１２ｃｍ³
（３、９）から（４、１２）まで直線。

９秒後にＰはＤへ、ＱはＣに到着する。４秒後～９秒後は、
高さが減少するので四面体ＢＥＰＱの体積は９秒後に０ｃｍ³となる。
（４、１２）から（９、０）まで直線をひいて終了。

大問５（平面図形）

（１）
作図。折り返す→線対称な図形
折り目はＡから左上方向と推測。
①ＡからＡＰの長さをとって、右方向の円周にヒョコ。そこをＰ’とする。
ＰＰ’を垂直二等分線。これが折れ目の線となり、ＰとＰ’が重なる。
その線と円周が重なる交点がＣ。線分ＡＣなので、延長線はかかない。

（２）
満点とらせない用の問題。

この図でお分かり頂けるだろうか(＾＾；
折り返しは線対称なので、Ｐから折り目と垂線をひき、円周との交点をＰ1、Ｐ2とします。
ＡＰ＝ＡＰ1＝ＡＰ2＝２ｃｍ、半径も２ｃｍなので、ＯＰ1、ＯＡ、ＯＰ2をひくと、
△ＯＡＰ1と△ＯＡＰ2の３辺がどれも２ｃｍで、ともに正三角形。
求めたいラグビーボールのような面積を半分に分断して、わかりやすいように外側に移植。
すると、半径２ｃｍ中心角６０°のおうぎ形から、
正三角形をひいた面積を２倍にすれば、それが答え。
１辺２ｃｍの正三角形は、頂角から縦に真っ二つ。
１：２：√３の直角三角形から、高さが√３ｃｍ。
（２×２×π×１/６－２×√３×１/２）×２＝4/３π－２√３ｃｍ²