2015年度 群馬県公立高校入試【数学】解説

関東ラストの群馬県の数学解説です。最後が鬼問。
問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合)

(1)
①1-(-3)=1+3=4
②2a+a/3=7/3・a
③4(2x-y)-3(x+y)
=8x-4y-3x-3y
=5x-7y

(2)
(3x+1)2
=9x2+6x+1

(3)
4a2-12ab
=4a(a-3b)

(4)連立方程式
加減法でも代入法でも。x=3、y=-2

(5)因数分解
2+x-12=(x+4)(x-3)
x=-4、3

(6)平方数をルートに直すと・・
1=√1、2=√4、3=√9、4=√16、5=√25・・・
よって、2、3、4が答え。

@別解@
√1<√2<√4 から 1<√2<2。
√16<√19<√25から、4<√19<5.
√2<x<√19は、整数でいえば1<x<5となる。
よって、x=2、3、4

(7)空間認知力が求められますが、立方体の1つ面と直角になる面は、
その面と平行となる反対の面以外の4つの面。
アと平行となる反対の面はエ。よって、アエ以外の4つが答え。

(8)カードは元には戻さないので、全体は5×4=20通り。
4の倍数となる数字を地道に調べる。12、24、32、52の4通り(44はなし!)
確率は、4/20=1/5

大問2(数量変化&図形)

(1)①8分で20L減るので、1分あたりでは、20÷8=5/2L

②グラフの式を求める。右に8いって20下に下がるから、前問より傾きは-5/2。
切片は120とグラフにあり。よって、y=-5/2x+120

③前の式にy=0を代入。 0=-5/2x+120 x=48  48分後

(2)①多角形の内角の和の公式を利用。180(n-2)
180×(7-2)=900°

②外角の和は常に一定。
平行移動して1つの角に集中させる作図法もあるが、問題文では計算で求める。
各々の7つの角に直線180°をひき、そこから前問で求めた七角形の内角の和を引く。
180×7-900=360°となる。

大問3(平面図形)

二等辺のなかに二等辺の構図。
(1)等しい辺や角に記号をふる。
△DACが二等辺。∠CAD=●とすると、∠ACD=●
△DACの外角定理から、∠CDA=●●。
△CDBも二等辺だから∠CBD=●●
△ABCも二等辺なので、∠ABC=∠ACB=●●。
すると、∠ABC=∠CBD(共通角●●)と、∠ACB=∠CBD=●●となり、
2角が等しいので相似。

(2)前の相似を活用。AB=xとおく。
△ABC:△CBD=x:2
AB:CD=x:2、BC:BD=2:(x-2)
x:2=2:(x-2)
内項と外項の積から、
x(x-2)=4
2-2x-4=0
解の公式、x=1±√5  x>0より、x=1+√5

@別解@
前の問題から、角度をチクチク求めていくと△ACDが36°、36°、108°となる。
すると、今年の神奈川大問5(ウ)のような黄金比の図形となる。
AC=x、DA=DC=2cm、∠ADC=108°で、∠ADE=72°となるような線をひく、(Eはこの線とAC上の交点)
角度を求めると△ADEは二等辺でAD=AE=2cmで、EC=x-2cm
△ACD∽△DCE(ともに二等辺)で、比はx:2なので、上のような比例式を解いて終わり。
一種の黄金比を知らないと解けない方法・・。

大問4(数量変化)

栃木と同様に立体図形がからむ。
(1)記述式だが難しくはない。
P:B→C→Dで9cm動く。
Q:B→A→Cで、ACは⊿ABCが3:4:5の直角三角形から5cm。よって、9cm。
PとQは毎秒1cmと同じ速さで同じ距離を動くから、同じ時間でゴールに到着する。

(2)①
Ⅰ:先にPがCに到着。
Ⅱ:4秒後にQがAに到着。このときPはCD上を通過中。よって、アCD、イBA。
記号を逆にしても問題ないと思うが、問題文通りの順にしておくのがベター。

②0≦x≦3のときは、Pはxcm/s、Qはxcm/s動く。
四面体BEPQは、底辺が⊿BPQで高さ6cmの三角錐。
従って、y=x×x×1/2×6×1/3=x2
y=x2

③公式解答参照。
変化するところに注意する!
変換点はPがCにつくときとQがAにつくとき。

@PがCにつくとき@
3秒後までの話だから、前問の式を利用。y=32=9cm2
原点から(3.9)まで直線。

@QがAにつくとき@
PがCについた後、四面体BEPQの底面△BPEは等積変形で一緒。
高さだけ3→4秒のときに1cm上昇し、高さは4cmとなる。
そのときの四面体BEPQの体積は、6×3×1/2×4×1/3=12cm3
(3.9)から(4.12)まで直線。

9秒後にPはDへ、QはCに到着する。4秒後~9秒後は、
高さが減少するので四面体BEPQの体積は9秒後に0cm3となる。
(4.12)から(9.0)まで直線をひいて終了。

大問5(平面図形)

(1)作図。折り返す→線対称な図形
折り目はAから左上方向と推測。
①AからAPの長さをとって、右方向の円周にヒョコ。そこをP’とする。
PP’を垂直二等分線。これが折れ目の線となり、PとP’が重なる。
その線と円周が重なる交点がC。線分ACなので、延長線はかかない。

(2)満点とらせない用の問題。

この図でお分かり頂けるだろうか(^^;
図がきれいに書けなかった・・。
折り返しは線対称なので、Pから折り目と垂線をひき、円周との交点をP1、P2とします。
AP=AP1=AP2=2cm、半径も2cmなので、OP1、OA、OP2をひくと・・
△OAP1と△OAP2の3辺がどれも2cmで、ともに正三角形。
求めたいラグビーボールのような面積を半分に分断して、わかりやすいように外側に移植。
すると、半径2cm中心角60°のおうぎ形から、
正三角形をひいた面積を2倍にすれば、それが答え。
1辺2cmの正三角形は、頂角から縦に真っ二つ。
すると1:2:√3の直角三角形から、高さが√3cm。
よって、(2×2×π×1/6-2×√3×1/2)×2=4/3π-2√3cm2
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