2022年度 北海道公立高校入試過去問【数学】解説

問題はコチラから→PDFファイル

大問1(小問集合)

(1)①
8×(-4)
=-32


(-5)2-9÷3
=25-3
=22


4√5+√20
=4√5+2√5
=6√5

(2)
2+2ab
=72+2×7×(-3)
=49-42
=7

@別解@
2+2ab
=(a+b)2-b2
=(7-3)2-(-3)2
=16-9=7
大して時間は変わりません。

(3)
y=-2x+8にy=0を代入。
-2x+8=0
x=4
A(4、0)

(4)
3x-2y=-x+4y=5
3x-2y=5 …①
-x+4y=5 …②
①×2+②をすると、5x=15
x=3
②に代入、y=2
x=3、y=2

(5)
『以下』だからx≦10

(6)

DE//BCだから、AD:DB=AE:EC=1:1
ECの中点がPであれば、AP:PC=3:1になる。
ECの垂直二等分線をひき、ACとの交点がP。

大問2(資料問題)

(1)①

Bの第3四分位数(Q3)は8.6秒。


ア:範囲(レンジ)=最大値-最小値。同じである。×
イ:四分位範囲=第3四分位数(Q3)-第1四分位数(Q1)で、Aの方が大きい。〇
ウ:平均値は×印などで示されるが、本問の箱ひげ図には記載がない。×
エ:最大値はBの方が大きい。×

(2)
ア:15人の中央値は8番目の値。
 8番目が7.4秒だから、7.5秒より速い人は少なくとも8人いる。
イ:8番目が7.6秒なので、7.5秒より速い人は最も多くて7人。
ウ:B組の方が7.5秒より速い人が多い。
ア…8、イ…7、ウ…B組


大問3(関数)

(1)
y=ax2に(x、y)=(2、12)を代入。
12=4a
a=3

(2)①

a=2で試してみると、A(t、2t2)。
ABはx軸に平行だから、y軸を対称の軸として△OABは左右対称→直角二等辺三角形
ABの中点をCとすると、△OCAも直角二等辺。→CA=COでAのx座標とy座標が等しい。
2t2=t 
t>0だから両辺をtで割って、
2t=1
t=1/2

a=1のとき、t=1
a=2のとき、t=1/2
atの積は1で一定である。
X…1/2、
Y…ウ、Z…1


説明問題。
この形式は他県でも見かけるが、説明で出されると書きづらい(´~`)

前問の処理をaで行う。
公式解答では△OABと△OACが直角二等辺であるとサラリと指摘して、
A(t、at2)より等式を作成→at=1を導き、結論を記述している。

at2=tの両辺をtで割るときは、t>0の条件はつけておきたい
普通、方程式を文字で割るとき、t=0のときは割れないが(割る数が0はダメ)、
問題文では「t>0」とあるのでtで割ることができる。

大問4(平面図形)

(1)

∠ABC=180-(40+90)=50°
∠DBC=50÷2=25°
△BCDで外角定理→∠ADB=25+90=115°

(2)①

4点の同一円周上といえば、円周角定理の逆
直線BCについて同じ側にある∠BEC=∠BDCを指摘すればいい。
この2つの角が対応する三角形の相似を見つける
∠EBF=∠DBCがわかっているので、△BFE∽△BCDがやりやすい。
ア…BDC、イ…BFE、ウ…BCD

@余談@

やや面倒ですけど…△BFE∽△CFDでもいける。
採点基準によると『論理的に正しい場合は正答とする』とあるので
、答えは2つある(;^ω^)


△BFE∽△BCD経由で、4点B、C、D、Eが同一円周上にあることを証明する。

ポイントは二等辺三角形。
二等辺三角形の頂角を2等分する直線は、底辺を垂直に2等分する
これを指摘するだけで、∠BFE=90°が導ける。
仮定の∠EBF=∠DBC、∠BFE=∠BCDの2角相等で△BFE∽△BCD。

対応する角は等しいから、∠BEF=∠BDC
2点D、Eが直線BCについて同じ側にあり、∠BEC=∠BDCだから、
円周角定理の逆で4点B、C、D、Eは同一円周上にある。


大問5(平面図形&整数)

(1)①
△CAOで三平方→4√3cm


ここも説明問題(´°ω°`;)
公式解答に即して解説する。

【OD:OB=OA:OC】は、△OBD∽△OCAから導ける。
長方形が相似なので、それらを対角線で2等分した2つの直角三角形も相似
OD=4√3×4/4√2=2√6cm
△OBDで三平方→BD=6√2cm

長方形の対角線はおのおのの中点で交わるので、BH=6√2÷2=3√2cm
AH=AB-BH=4√2-3√2=√2cm
よって、△OAHの面積は、4×√2÷2=
2√2cm2

@別解@
他に抜け道がないか探ってみました。

先のようにBE=2√6cmまでは出す。
Eから垂線、足をIとする。
×=90°の角度調査で、△BCO∽△BIE
△BCOの辺の比は、4:4√2:4√3=
1:√2:√3
BI=2√2cm、IE=4cm

AB=4√2cmだから、IはABの中点である。
△IEH∽△AOHで、IE:AO=1:1だからHはIAの中点。
BH:HA=3:1なので、△OAHの面積は、4×4√2×1/2×1/4=2√2cm2

(2)①
ここも答案に説明が要求される。
102を素因数分解すると、102=2×3×17
根号の中が平方数になれば、根号の外のaの部分が作れる。
しかし、すべてを平方数にすると√bが作れない。
もっとも、2つのサイコロの出目の合計は最大でも12だから、
17は必ず根号の中に残る→2か3の素因数を持つ数がnとなる
n=2、3、4、6、8、9、10、12


余事象の方が早い。
n=1→無し。
n=5→(1、4)(2、3)と逆
n=7→(1、6)(2、5)(3、4)と逆
n=11→(5、6)と逆
計12通り。
全体は6×6=36通りだから、36-12=24通り。
確率は24/36=2/3


今年から学校裁量問題が消える。
大問1
配点33点。死守
(6)PはACを3:1に内分する点。
EがACの中点だから、ECの中点がP。
大問2
(2)B組は8番目が7.4秒→7.5秒より速いのは少なくとも8人いる。
A組の8番目は7.6秒→7.5秒より速いのは最も多くて7人。
これは同数のタイムが複数いても確実に言える。
大問3
(2)①と②で形式は違うが、中身は同じことをやらせる(;´・ω・)
x座標とy座標が等しくなる→直角二等辺が書きやすいが正方形でも良い。
どの程度まで書けばよいのかわかりにくくて不安になる。
バカ丁寧に書くと冗長になるし、要点だけを抑えて書くのが理想だが、
変なところで変に時間をとられる。。
大問4
(2)①答えが2つでちゃうのはどうなんだろう。
そういうのもあるけど、本問はなんか微妙な感じがする。
②二等辺三角形の頂角の二等分線がポイント。
時間短縮のうえでも指摘しておきたい。
大問5
(1)②共通テストを意識しているのか、記述が多い。
OA=4cmがわかっているので、高さHAの長さが知りたい。
前問の対角線が次の長方形の縦。相似で横のODを求め、三平方で対角線BDを出す。
BD上のHAをどう出すか。細々とした処理が連鎖するので、1つ1つはサラっと書く。
完走できなくても、途中まで当てれば部分点がもらえると思う。
(2)①公式解答では『102nが整数の2乗を因数に含むとき』とあるが、
それはnが2か3の素因数を含むときであり、こっちが肝だと思う。
②記述に時間を要するので、余事象でタイムロスを減らしたい。
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