2020年度 神奈川県公立高校入試問題・追検査【数学】解説

問題はコチラ→PDFファイル
本検査はコチラ。昨年の残滓を感ずる(´-`).。oO

大問1(計算)

(ア)
-13+5
=-8 【3】

(イ)
-5/8-(-2/5)
=-5/8+2/5
=-9/40 【3】

(ウ)
48a2b÷6a
=8ab 【4】

(エ)
5/√6-√24+√3/√2
=5√6/6-2√6+√6/2
=-2√6/3 【1】

(オ)
(√2+√7)(√2-√7)-3(√2-1)
=(√2)2-(√7)2-3√2+3
=2-7-3√2+3
=-2-3√2 【2】

大問2(小問集合)

(ア)
0.1x+0.3y=-1.3 …①
1/5x+1/3y=-1…②

①を10倍、x+3y=-13…③
②を15倍して分母を払う、3x+5y=-15…④
③×3-④
 3x+9y=-39
-)3x+5y=-15
   4y= -24
y=-6
③に代入。x-18=-13
x=5 【3】

(イ)
5x2+12x+2=0
因数分解ができないので解の公式を適用。
xの係数が偶数なので、b=2b’が使える。
x=(-6±√26)/5 【1】

(ウ)
yの変域が正なので、傾きaは正(下に凸のグラフ)
原点を通過することに注意!
x=0のとき、最小値y=0
x=-3のとき、最大値y=8
8=(-3)2
a=8/9 【3】

(エ)
15Lに20aを入れると、bL”より”多かった。
15+20a>b 【2】

(オ)
√(67-3n)が整数となる、正の整数nの個数を求める。
67-3nの値が平方数となれば、根号がパカッと外れる。
67-3n=1
3n=66 n=22〇
67-3n=4
3n=63 n=21〇
67-3n=9
3n=58 nが正の整数にならない×
67-3n=16
3n=51 n=17〇
67-3n=25
3n=42 n=14〇
67-3n=36
3n=31 ×
67-3n=49
3n=18 n=6〇
67-3n=64
3n=3 n=1〇
81は67を超えてしまうのでお終い。
よって、6個 【4】

(カ)
60匹中8匹に印がついていた。
印付きの魚は全体で40匹なので、母集団は60×40/8=300匹 【2】


大問3(小問集合2)

(ア)ⅰ
△ABE∽△ECFの証明。

1つは、二等辺三角形ABCの底角。
もう1つは、弧BDの円周角→錯角。
これで2角が等しいことになる。
a…2つの底角は等しい
b…∠BCD=∠CEF


最も出しにくい角度を求めます(´゚д゚`)
ちょっと考えてダメだったら後回し推奨。

∠BAD=∠GAD=とする。
弧BDに対する円周角で、∠BCD=
∠ABC=∠ACB=×とする。
△ABEの外角定理より、×=74°

弧ABと弧ACに対する円周角から、∠ADB=∠ADC=×
△ABDと△AGDに着目すると、×+共通辺ADより、
一辺両端角の相等から△ABD≡△AGD
AB=AG

さらに、△ABEと△AGEで、2辺とあいだの角が相等より合同。
△ABE≡△AGE
∠AEB=∠AEG=180-74=106°

対頂角で、∠AEC=74°
∠CEG=106-74=32°

AGを延長。円Oとの交点をHとする。
直径に対する円周角から、∠ACH=90°
∠DCH=90-(×)=90-74=16°
弧DHに対する円周角から、∠DCH=∠DAH
すなわち、=16°となる。
△ECGの外角定理から、∠DGE=32+16=48°

@別解@

=16°、×=58°さえわかれば、
△ADGの外角定理で、∠AGC=×
∠DGE=180-(58+74)=48°

また、EF//DCより、∠AEF=×=58°
∠FEG=106-58=48°
錯角で∠DGE=48°

さらに、△ABD≡△AGDと△ABE≡△AGEから、△EBD≡△EGDがいえる。
∠BED=∠GED=74°
△GEDの内角から、∠DGE=180-(58+74)=48°

@別解2(追記)@

等角はいろいろでてくるが、具体的な角度が74°しかわかっていない。
どこかで90°を見出さなければ答えが出せないと思われる。
求めたい角度は∠DGEで、AGは直径の一部。
・・なんとなくAGとBCが直交してみえる…|д゚)

直径に対する円周角は直角。
△ABHと△ACHは、斜辺と他の1辺が等しい直角三角形で合同。
直径AHを対称の軸とすると、BとCは対応する点であり、
対応する点を結んだ線分と対称の軸は直交する。

弧ACの円周角から、∠ADC=×
△ADGの外角定理で、∠AGC=×=74°
BCとAGの交点をIとし、△CIGの内角から、=180-(90+74)=16°と導ける。
先のように、△ABE≡△AGE→∠AGE=×とわかれば、∠DGEが求められる。

他に良い解法を見つけたかたはお問い合わせよりお知らせくださいませ。

(イ)
ここも難しい(´・д・`)
あ:最頻値は4日だったが、7→3に減ることで最頻値は変わってしまう。×
い:25人の中央値は、(25+1)÷2=13番目の値。
 修正前は4日の階級に中央値が含まれた。

平均が変わらないように4人を配置する。
例えるならば、釣り合っている上皿てんびんが再び釣り合うように
4つの分銅をのせていく
わかりやすいのは真ん中の4を基準に+1、-1、+2、-2…
と対称的にのせていく方法だが、極端なケースを考えてみよう。
4日から-3(1日)に1つ、+1(5日)に3つのせると、
1~3日の度数は10となり、中央値である13番目は4日になる。
反対に-1(3日)に3つ、+3(7日)に1つのせると、
1~3の度数は12となり、中央値である13番目は4日なる。
すなわち、いかようにのせても中央値は変動しない!〇
う:-1(3日)と+1(5日)に2つずつのせたり、
 -2(2日)と+2(6日)に2つずつのせれば1日は2人のまま。×
え:+3(7日)に3つのせてしまうと、4未満の残り1つでは釣り合わない〇
おか:4つをのせるまえは、3日以下も5日以上も9つずつ。
 片方が10未満ということは、4つ全部を他方にのせることになるので釣り合わない〇
解答→い・え・お・か
*6つのうち4つを選ぶのには勇気がいるが、完全解答です。

(ウ)
外側に相似図形を作るのだろうと、方針は立てやすいが処理が複雑系(;`ω´)

BFとCDを延長、交点をHとする。
△ABF∽△HDFより、HD=③×1/2=〇3/2
△EBG∽△CHGより、BG:HG=BE:HC=②:〇9/4=4:9

BG:GH=から、△BCHの面積を【13】とおくと、△BCGの面積は【4】。
△FDH∽△BCHより、FD:BC=1:3から、
△FDH:四角形BCDFの面積比は1:8。
四角形BCDF=【13】×8/9=【104/9】
四角形CDFG(T)=【104/9】-【4】=【68/9】
よって、△BCG(S):四角形CDFG(T)=【4】:【68/9】=9:17

(エ)
一の位をxすると、十の位は10-x。
ある2桁の自然数をxであらわすと、10(10-x)+x
2文目から、これがx2-12と等しくなる。
10(10-x)+x=x2-12 …ⅰ

うえの式を解く。
2+9x-112
=(x-7)(x+16)=0
x>0より、x=7
一の位は7。
十の位は10-7=3。
したがって、37 …ⅱ

大問4(関数)

14日は穏やかだったのに、コッチはフツーの神奈川・゚・(゚`Д´゚)・゚・
(ア)
y=-1/4x+9にx=4を代入。
A(4、8)
これをy=ax2に代入。
8=16a
a=1/2 【4】

(イ)

DはAとCの中点→D(2、8.5
なぜ小数がでてくるんや…
A→B→E→F→Gと反時計回りに周回してG(5、4)
DとGを通る直線の式を連立で求める。
 8.5=2m+n …①
-)4=5m+n …②
 4.5=-3m
m=4.5÷(-3)=-3/2 …ⅰ【5】

①に代入。
8.5=2×(-3/2)+n
n=11.5=11と1/2=23/2 …ⅱ【6】

(ウ)
五角形を半分にするだって!?(*’ω’*)

等積変形を使ってCやGをBO上にのせてもできると思うが、
五角形を分割するとありがたいことに、すべての面積が整数値になる

△ABC…8×1÷2=4
△ABO…8×8÷2=32
△AOG…△AOFの半分なので、6×8÷2÷2=12
五角形OGACBの面積は、4+32+12=48となり、その半分は24。

AHが五角形を二等分するので、△ABH=20、△AHO=12
BH:HO=20:12=5:3
Hのx座標は、-4×3/8=-3/2

BO:y=-2xだから、y座標は-3/2×(-2)=3
H(-3/2、3)


大問5(確率)

(ア)
全体の取り出し方は、4×3×3=36通り
『6で引き分けになる』場合を考える。
Aは6、Bは6を取り出す必要がある
Cは何でもいいので3通り。
3/36=1/12 【3】

(イ)
Bで場合分け。
◆Bが6を出す
Aは6以外の3枚、Cは何でもいい。
3×3=9通り

◆Bが5を出す
Aは2か3、Cは3か4を出す。
2×2=4通り

◆Bが1を出す
Bの敗北が決定。

したがって、13/36
*確率は追試験の方が簡単だった。

大問6(空間図形)

(ア)

底面は台形。
DCの長さは、うえのように三平方で処理して2√5cm。
(4+2)×4÷2×2+(4+4+2+2√5)×6
=24+(10+2√5)×6
=84+12√5cm2 【6】

(イ)
最短距離の問題なので展開図を作成。
作図できれば点はとれるが、3つの面をL字で通過するので空間認識力が問われる。

△CFHで三平方。
CH=8√2cm 【2】
*△CFHは辺の比が1:1:√2の直角二等辺三角形。

(ウ)
むんずい:(っ`ω´c):
底面を△BEIとしたときの高さがFJにあたる。
しかし、△BEIの面積を求めるのが至難…(´゚д゚`)
そこで、GI:IH=1:2をヒントに、外側に注意を向けてみる

EIとFGを延長、その交点をKとする。
△EHI∽△KGIより、EH:KG=2:1
GK=2cm ←!!
つまり、KはHの真下にあり、四角形EFKHは正方形となる


ポイントは、切断された部分を復元すること。
JFは△BEKの高さでもある
三角錘B-EKFの体積×3÷底面△BEK=高さFJ

三角錘B-EKFの体積…4×4÷2×6÷3=16cm3

△EKFは直角二等辺三角形→1:1:√2ゆえ、EK=4√2cm
対角線EKとHFの交点をOとする。
OF=4√2÷2=2√2
△OFBで三平方→OB=2√11cm
△BEK=4√2×2√11÷2=4√22cm

したがって、16×3÷4√22=6√22/11cm

@余談@

直角三角形OFBの3辺の長さがわかれば、相似図形で乗り越えられる。
OF:FB=OJ:JF=FJ:JB=2√2:6
OJ=〇2√2、JF=とする。
JBをで表すと、JB=×/〇2√2〇9√2
OB=〇2√2〇9√2〇11√2
2√11×/〇11√2=6√22/11cm

センターの追検査は難しいと聞くが…神奈川も本検査との大きな差を感じる。
受験生はぎりぎりコロナ禍を免れて良かった。
とくに大問3アⅱはあれで良かったのか、今でもわからない。。
イ・ウも難問だった。
関数は方針さえつかめば、コチラの方が処理は少ない。
昨年度のようにどれかを飛ばさないと時間が足りない。
ヤバイ雰囲気を察したら手をつけず、次にいこう。
 
 

2020年度(神奈川)
数学…平均55.7点 社会…平均58.2点 理科…平均55.9点 英語…平均49.4点
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