2020年度 愛知県公立高校入試問題Aグループ【数学】解説

受検者平均;10.8点(前年比-1.9点)、合格者平均;11.5点(前年比-1.6点)
問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合)

(1)
3-4×(-2)
=3+8=11

(2)
2/3(2x-3)-1/5(3x-10)
=4/3x-2-3/5x+2
=11/15x

(3)
(√10+√5)(√6-√3)
=√60-√30+√30-√15
=2√15-√15=√15

(4)
2x2+5x+3=x2+6x+6
2-x-3=0
因数分解できないので、解の公式を適用。
x=(1±√13)/2

(5)
5x(x-2)-(2x+3)(2x-3)
=5x2-10x-(4x2-9)
=x2-10x+9
=(x-1)(x-9)

(6)
クラスの人数をx人とする。
不足分は足し、超過分は引いて帳尻を合わせる。
300x+2600=400x-1200
100x=3800
x=38→38人

(7)
x=2のとき、y=3×22=12
x=4のとき、y=3×42=48
平均の速さ=距離÷時間=(48-12)/(4-2)=毎秒18m
*y=ax2において、xの値がp→qまでの変化の割合はa(p+q)
3×(2+4)=毎秒18m

(8)
全体の取り出し方は、5枚×4枚=20通り
『積が奇数』→2つとも奇数の場合のみ。
Aの箱から〔1・3・5〕Bの箱から〔1・3・5〕を取り出す。
3×3=9通り
よって、9/20

(9)
接線と円の半径は直交する。

同位角が等しく、AP//BQ
Qを通る、ABに平行な線分を引き、APとの交点をRとする。
(四角形ABQRは4つの角度が90°で長方形)
AR=RP=2cm
△PQRで三平方→RQ=√21cm
AB=√21cm

大問2(小問集合2)

(1)
式にあらわしてみよう。
ア+(-5)+2=イ+(-1)+2=ア+1+イ
ア-3=イ+1=ア+イ+1

うしろの2つだけを抜き出すと、
イ+1=ア+イ+1 ←イを消去。
1=ア+1
ア=0

前2つの式から、0-3=イ+1
イ=-4

@余談@

左:アを含む2列は、ア以外の和が等しい。
右:イを含む2列は、イ以外の和が等しい。
魔方陣で使うテクニックです。

(2)
a:
平均値を求める。
(5×9+4×9+3×10+2×6+1×5+0×1)÷40
=128/40=32/10=3.2点

b:
40人の中央値は、20番目と21番目の平均値。
いずれも3点にある。→3点

c:
配点は第1問が1点、第2問と第3問が2点。
第1問を正解した合計人数は奇数点になる
よって、9+10+5=24人

d:
3問正解した人は5点→9人
2問正解した人は4点と3点→19人
1問正解した人は2点と1点→11人
(3×9+2×19+1×11)÷40=76/40=19/10=1.9問

(3)
y=2/xからA(1、2)、B(3、2/3)

△AOBと△ABCの面積が等しいということは、
共通辺ABを底辺としたときの高さの比が等しい
ABを延長してx軸との交点をDとすると、OD=DCとなる。

AとBを通る直線の式を連立で求める。
   2=a+b…①
-)2/3=3a+b…②
 4/3=-2a
a=-2/3
①に代入。2=-2/3+b
b=8/3
y=-2/3x+8/3

y=0を代入。
0=-2/3x++
8/3
x=4
D(4、0)ゆえ、C(8、0)

@別解@
Bのy座標がやらしい(´・_・`)
2:2/3=3:1を見出せれば、相似図形でも攻略可。

Dのx座標…2×③/②+1=4

(4)①

Aは時速12kmで進む。
グラフで60分・12kmの点と原点を結ぶと、傾きがちょうど45度線。
原点から45度にy=8kmまで線分をひき、5分休憩、そこから45度線。



バスはB地点から出発する。
B→A;時速48km、A→B;時速36kmと変速するので注意!
正しく作図できれば、出会った時間の計算は不要。
50分後


大問3(図形)

(1)

半径より、△BOCは二等辺→∠OBC=∠OCB
△BOCの外角定理から、∠OCB=40÷2=20°
∠CODは円周角CBDの中心角で、36×2=72°
△COEで外角定理→∠CED=20+72=92°

(2)①

ADとBFを延長、交点をHとする。
△BCF∽△HDFより、DH=③×1/3=①
△AGH∽△EGBより、AG:EG=AH:EB=4:1
よって、AGはGEの4倍。


本試験最大の難所(;`ω´)ゴクリ

こんな感じで円が2つできるという。
求めたいのは円の面積比。
半径の2倍が直径なので、直径の比さえわかればその2乗で決着がつく
では、円の直径はどこにあるのだろう?

入試問題にでてくる問題では、たいてい変な場所に中心点はない!(ノ)`ω´(ヾ)
中心は円の直径にある。
円…直径…直径に対する円周角は90°…
どこかの角が90°であれば、円の直径が特定できるはず

問題文の図をパッと見て、AEとBFが直交しているように見える|д・)
幾何では、こういった勘は大切です。
△ABEと△BCFを調べると、
AB:BE=4:2=2:1
BC:CF=6:3=2:1!!
これに気づければ、2辺の比と間の角が等しくなり、△ABE∽△BCFが指摘できる。

×=90°で対応する角に印をつけると、∠BGE=90°を認定。
やはり、AEとBFは直交していた。
次に、90°を円周角とする直径を探す。

AFEFに補助線。
∠AGFを円周角とする直径AF、∠EGFを円周角とする直径EF。
円の中心はAFとEFの中点に隠れていた(σ’д’)σハッケン
また、長方形の内角から∠ADF=△ECF=90°なので、
つまるところ、A・G・F・DとE・G・F・Cの4点は各々同一の円周上にくる。
△ADFで三平方→AF=√37
1直径=√37cm
△ECFで三平方→3:4:5より、EF=5
2の直径=5cm
円の面積比は直径の2乗だから、
√37)2:52=37:25
したがって、37/25倍

(3)①

正方形ABCDの対角線の交点をHとする。
△ABCで三平方→1:1:√2よりAC=6√2
AH=6√2÷2=3√2
△AOHで三平方→OH=3√7
体積は、6×6×3√7÷3=36√7cm3


空間で距離ときたら『高さ』。
底面OBCからAまでを高さとする立体を捉える。

留意点は、△OBCをゴロンと傾けて床につけたとき、
Aまでを高さとする立体は三角錐A-BOC
これは正四角錘O-ABCDの体積の半分である18√7cm3である。
△OBCの高さは三平方で6√2cm、面積は6×6√2÷2=18√2cm2
よって、求める高さは18√7×3÷18√2=3√14/2cm

大問1
計算問題はすべて死守!
(9)円や扇形がきたら半径作図。
大問2
(1)経験の差がでやすい。
(2)後半に推論要素が含まれる。c『各問題の配点をあわせて考えること』がヒント。
(3)中受の算数にでてくるベンツ切りみたいな。
(4)なるべく時間をかけたくない。
大問3
(2)②シンプルisディフィカルト(;´・ω・)
円の面積比→直径→直径に対する円周角は90度。
90度の捜索に2辺の比とあいだの角を相似条件とした相似図形を見つける必要がある。
(3)②ここもひっかかりやすい。底面をBOC→ABCと視点を切り替えると正四角錘の半分。
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