2022年度 奈良県公立高校入試過去問【数学】解説

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大問1(小問集合)

(1)①
3-7
-4


4(x+2)+2(x-3)
=4x+8+2x-6
=6x+2


12x2y÷4x2×3xy
=9xy2


(x+2)(x+8)-(x+4)(x-4)
=x2+10x+16-x2+16
=10x+32

(2)
2-6x+2=0
解の公式を適用。xの係数が偶数なのでb=2b’が使える。
x=3±√7

(3)
2-6x+9
=(x-3)2 ←ここで代入
=(√2+3-3)2
=2

(4)
y=ax2に(x、y)=(2、-8)を代入。
-8=4a
a=-2
y=-2x2

(5)
40人の中央値(メジアン)は20番目と21番目の平均。
20~25分の階級に含まれる。
その相対度数は、6/40=0.15

(6)

球の体積→4/3πr3
円柱の体積→底面の半径r、高さ2rなので、πr2×2r=2πr3
球:円柱=4/3πr3:2πr3=2:3
球の体積は円柱の2/3倍。

(7)
Dに止まるには、出目の合計が3・7・11。
●和が3→(1、2)(2、1)
●和が7→(1、6)(2、5)(3、
4)(4、3)(5、2)(6、1)
●和が11→(5、6)(6、5)
計10通り。
全体は6×6=36通り
確率は、10/36=5/18

8)
∠APC=45°の作図→直角二等辺三角形を想起。

Cを通る垂線を作成。
その足からCの長さをとり、AB上に移す。
直角二等辺の内角45°が∠CPAになる。

大問2(数量変化)

(1)①
50cmは容器の高さ。水面の高さで等式を立てる。
1分間あたりaは12cm、bは6cmだから12a+6b。



Aだけを使った場合が直線ℓ。
6分後に高さ50cmとなるように設定して、Bだけを使った場合が直線m。
交点がAからBに切り替えるタイミング。

い:直線の傾きは1分あたりに高くなる水面の高さ
う:交点のx座標はAの使用時間

(2)①
直線mをy軸方向に-5平行移動した直線。

* ゴールを50cmから45cmに下げる。
直線mが(6、45)を通過するには、
直線mをy軸方向に-5平行移動させればいい。



(6、45)をゴールとして傾き2の直線を描く。
交点がAからCにチェンジする時間。

誤答のチェック。
Cの傾きは最も緩やかなのでウは×。
アのようにスタート(原点)を一緒にするのではなく、ゴールを先に設定する。
イは下げ過ぎ。
時間がかかるのでやらなくても良いが、方程式を解くとmとの交点はℓとの交点より上にくる。

(3)

与えられたグラフにAを描きこむ。
B⇒Aは1分後にチェンジで、このときの水面の高さは6cm。
Aは(1、6)を通過する。

もし、このままAだけだったら何分で終わるのか?
残り42cmを毎分12cmずつ埋めていくので、
42÷12=7/2=3.5分
Bを入れ始めてから4.5分後である。


グラフの最後をピックアップ。
変化率はA:C=12:2=6:1
水面を同じ高さにするまでの時間は逆比で、A:C=①:⑥
A⇒Cに切り替えた時間で残りの水面をAは①の時間、Cは⑥の時間かかるので、
差の⑤が6-4.5=1.5分にあたる
①=1.5×①/⑤=0.3分=18秒
答えは、4.5分(4分30秒)の18秒前の4分12秒後。


大問3(関数)

(1)
y=6/xにx=1を代入して、y=6

(2)

二等辺三角形OCDを縦半分に割り、反対側にくっつけると長方形になる
y=6/xはxとyの積が比例定数6で一定。
Cのx座標とy座標の積は6。長方形=二等辺三角形OCDの面積は6で一定。

(3)

Aを通るBOに平行な線をひき、x軸との交点をA’とする。
△OA’Bと△OBDが等積なので、底辺はA’O=ODとなる。
A’のx座標がわかればいい。

BOの傾きは5/3。
Aから右に③、上に⑤移動してA’。
⑤=1だから、③=1×③/⑤=3/5
A’のx座標は、-6+3/5=-27/5
これをy軸について対称移動させたDのx座標は27/5。

(4)

B(-3、-5)⇒A(-6、-1)
左に3、上に4の移動はD⇒Cでも同じ
Dのy座標は0なので、Cのy座標は4。
これをy=6/xに代入して、Cのx座標は3/2。

A(-6、-1)⇒C(3/2、4)
右に15/2、上に5移動だから、ACの傾きは5÷15/2=2/3
AC//BDより、BDの傾きも2/3。
Bから右に3、上に2移動して、切片は-5+2=-3
y=2/3x-3


大問4(平面図形)

(1)

△ABDは二等辺三角形だから、∠ADB=a
弧ADに対する円周角で、∠ABD=∠ACD=a
弧ABに対する円周角で、∠ADB=∠ACB=a
∠BCD=
2a°

(2)
△AEF∽△CEBの証明。

対頂角+AG//BCの錯角で2角相等→∽

(3)①

(1)がヒントになる。
∠ABE=∠ACB、共通角で∠BAE=∠CAB
2角が等しく、△ABE∽△ACB
相似比は、AB:AC=3:4
面積比は相似比の2乗、△ABE:△ACB=⑨:⑯
△BCEの面積は、⑯-⑨=⑦
△ABEの面積は△BCEの9/7倍。


シビアです:(っ`ω´c):

角度の数値が与えられていないので、有名角は使えない。
かといって、Gが変な位置にあるのでAGを1辺とする三角形の相似も見当たらず…。
本問の図形で特徴的なのはAG//BC
知りたいのはAGの長さ。BCは4cmとわかっている。
AG:BCの比を何かに置き換えることはできないか。

ここで、△ACDと△BCDに着目する
2つの三角形はCDが共通の底辺。
高さは底辺に対して垂直であるが、高さの比は斜めでも許される
そして、2本の斜めが平行であれば底辺に対する角度が等しいので、高さの比が使用できる
すなわち、△ACD:△BCDの面積比がAG:BCである。

前問の解答を用いる。
△ABE=⑨、△BCE=⑦として、△ADEと△CDEの面積比を算出する。

△ADE∽△BCEで相似比3:2⇒面積比は9:4
△ADEの面積は、⑦×9/4=〇63/4

△ABE:△BCE=AE:EC=△ADE:△CDE=9:7
△CDEの面積は、〇63/4×7/9=〇49/4

△ACD…〇63/4+〇49/4=〇112/4
△BCD…
⑦+〇49/4=〇77/4
△ACD:△BCD=112/4:77/4=16:11
したがって、AGの長さは、4×16/11=64/11cm


大問1
配点割合38%。
(6)円柱の高さは円の直径2r。
(7)和7は6通り。6×6の表で3と11は7±4で対称的な位置にある。
(8)45°の作図→垂直の二等分線か直角二等辺三角形。
大問2
方程式で求められるものをグラフを使って求める。
どこかで見た形式だがマイナーで初見だと厳しいか(;´Д`)
グラフの交点で折れ曲がるように水面を上げていく。
(1)②問題文の大意を掴まないと、ここでつまづく。
(2)①プチ記述。時間は変わらない。
高さはy座標なのでy軸について平行移動する。
(3)1分後までのBを除外すれば、AとCだけになる。
大問3
(2)反比例はxとyの積が一定であることを変化球をつけて問われた。
(3)y軸についてODと対称となるOA’で決着がつく。
(4)平行四辺形は隣り合う頂点までの移動に対称性がある。
他県でもよくでてくる。
大問4
(1)BDは直径ではない。
(2)証明は基本だった。
(3)①等角に印をつけよう。これと共通角で相似が見える。
②見た目はシンプルで典型的な形っぽいが難しかった。
Gは円周上になく、AGを1辺とする相似も使えにくい。
平行をどう活かすべきか。
正答率は低いと思われるので、空欄でもしょうがない。
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