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大問１（計算）
（１）①
５－８
＝－３
②
４（３ｘ－ｙ）－（６ｘ－５ｙ）
＝12ｘ－４ｙ－６ｘ＋５ｙ
＝６ｘ＋ｙ
③
（－10ａ2ｂ）÷５/２ａｂ
＝－４ａ
（２）
３√２/√３ ←分母分子×√３
＝３√６/３
＝√６
（３）
ｘ2－ｘ－12
＝（ｘ＋３）（ｘ－４）
ウ
大問２（小問集合）
（１）
『ある数ｘを２乗すると、ｘの５倍より１大きくなる』
ｘ2＝５ｘ＋１
ｘ2－５ｘ－１＝０
解の公式より、ｘ＝（５±√29）/２
カ
（２）
ア：階級の幅は５ｍ（*15－10＝５ｍ）〇
イ：Ａ中の最頻値は15～20ｍの階級値である17.5ｍ〇
ウ：Ｂ中80人の中央値は40番目と41番目の平均。20～25ｍの階級に含まれる。〇
エ：25～30ｍの度数は10人で同じ。合計（分母）が違うので相対度数（割合）は異なる。×
オ：累積相対度数…その階級までの相対度数の和。
20ｍまでの度数はＡ中が14人、Ｂ中が28人。合計はＡの２倍がＢなので累積相対度数（割合）は等しい。〇
*計算すると0.35
エ
（３）
半円の弧に対する円周角→∠ＢＣＤ＝90°
弧ＡＤ＝弧ＣＤより、∠ＣＢＤ＝29°
△ＢＣＤの内角から、∠ＡＥＤ＝180－（90＋29×２）＝32°
ウ
（４）
最初が４個、２枚目以降は２個。
４＋２×（36－１）＝74個
イ
大問３（確率）
（１）①
全体は４×４＝16通り
Ａ＞Ｂになる組み合わせをＡで場合分けして調べる。
●１→×
●２→×
●６→３通り
●８→４通り
計７通りだから、確率は７/16
②
３の倍数→位の和も３の倍数。
15・24・27・63・84・87の６通り
確率は６/16＝３/８
（２）
全体は３×２×２＝12通り
確率５/12ということは、素数が５通りでてくる。
【７・８】では７－２＝５、８－１＝７の２通り
素数を３通り追加できるカードを選ぶ。
３＋２＝５、３－１＝２、３－２＝１
答えは３のカード。
イ
大問４（平面図形）
（１）
平行四辺形になる条件。
①２組の対辺が平行である。（平行四辺形の定義）
②２組の対辺の長さが等しい。
③２組の対角の大きさが等しい。
④対角線が各々の中点で交わる。
⑤１組の対辺が平行で、かつ長さが等しい。
アが⑤を満たす。他の選択肢は満たさない。
ア
（２）
△ＡＦＥ≡△ＣＦＤの証明。
平行四辺形の対辺と折り返しで、ＡＥ＝ＣＤ
平行四辺形の対角は等しい。∠ＡＢＣ＝∠ＣＤＡ（Ⅰ）
折り返しと対角より、∠ＡＥＦ＝∠ＣＤＦ（●）
対頂角（Ⅱ）で、∠ＡＦＥ＝∠ＣＦＤ
三角形の残りの内角より、∠ＦＡＥ＝∠ＦＣＤ（×）
１辺と両端角（Ⅲ）が等しいから△ＡＦＥ≡△ＣＦＤ
①Ⅰ…イ、Ⅱ…ウ、Ⅲ…１辺と両端角
（３）
Ｍから垂線をおろして足をＮとする。
求めたいＭＨをｘとすると、折り返しでＢＨ＝ｘ、ＨＣ＝12－ｘ
Ｃから垂線をひき、ＡＤとの交点をＩとする。
平行四辺形の対角は等しい→∠ＣＤＩ＝60°
△ＣＤＩは辺の比が１：２：√３の直角三角形。
ＩＤ＝４ｃｍ、ＩＣ＝ＭＮ＝４√３ｃｍ
ＭＩ＝ＮＣ＝６－４＝２ｃｍ
ＨＮ＝（12－ｘ）－２＝10－ｘｃｍ
△ＭＨＮで三平方。
（10－ｘ）2＋（４√３）2＝ｘ2
100－20ｘ＋ｘ2＋48＝ｘ2
20ｘ＝148
ｘ＝37/５
ＭＨ＝37/５ｃｍ
大問５（関数）
（１）
ｙ＝１/３ｘ2は下に凸のグラフ。
ｘ＝０のとき、最小値ｙ＝０
ｘ＝－４のとき、最大値ｙ＝16/３
０≦ｙ≦16/３
（２）①
Ｐを左に動かすと傾きが緩やかになる→ａは小さくなる。
切片ｂは大きくなる。
ウ
②
ｙ＝１/３ｘ2にｘ＝３、６を代入→Ｄ（３、３）Ａ（６、12）
Ｐ（－３、０）→Ａ（６、12）
右に９、上に12だから、傾きは12/９＝４/３
切片はＰから右に３、上に４移動してＣ（０、４）
ＡＰ；ｙ＝４/３ｘ＋４
四角形ＡＣＯＤを三角形に変形する。
面積が管理しやすいようにＤをｙ軸上に移す。
Ｄを通るＡＯに平行な線をひき、ｙ軸との交点をＤ’とする。
ＡＯの傾き２→Ｄから左に３、下に６移動してＤ’（０、－３）
等積変形で△ＡＯＤ＝△ＡＯＤ’
四角形ＡＣＯＤ＝△ＡＣＤ’
△ＡＣＤ’の２倍の面積→ｙ軸上で底辺ＣＤ’を２倍する。
ＡＤ’＝７
Ｄ’から下７の点をＥとすると、Ｅ（０、－10）
△ＡＣＥにおいてＥをｘ軸上に移す。
Ｅを通るＡＣに平行な線をひき、ｘ軸との交点がＱになる。
ＱＥの傾きは４/３。Ｅから右に③、上に④＝10でＱだから、
③＝10×３/４＝15/２
Ｑ（15/２、０）
大問６（空間図形）
（１）
円錐の側面積である扇形の中心角は、
360×半径/母線＝360×９/15＝216°
エ
（２）①
９×９×π×12÷３＝324πｃｍ3
②
最初の水面の高さは３ｃｍ。
円錐を入れたら４ｃｍになった。
円錐が水を押しのけた青を周りに移動させると、水面下の円錐は赤に相当する。
言い換えれば、【円錐の下４ｃｍの体積＝円柱（容器）の高さ１ｃｍの体積】
小さい円錐：大きい円錐の相似比は、８：12＝２：３
体積比は相似比の３乗→小さい円錐＝⑧、大きい円錐＝㉗
下４ｃｍの円錐台＝高さ１ｃｍの円柱（容器）＝⑲
324π×⑲/㉗＝228πｃｍ3
容器の半径をｒとすると、πｒ2×１ｃｍ＝228πｃｍ3
ｒ2＝228
ｒ＞０より、ｒ＝２√57ｃｍ
昨年と比べて難化です。
大問１
配点20点。ミスなく完答したい。
大問２
配点20点。基本問題が占める。
（１）文字式→解の公式
（３）∠ＡＥＤだが△ＢＣＥの内角で捉えるといい。
大問３
問題文はそれほど長くはないが３ページにわたる。
作業内容や必要な情報をサッと読み込みたい。
問われている内容に下線をひくといい。
（１）は取りたい。
（２）確率から場合の数は５通り。
判明している【７・８】のカードで素数になる組み合わせを頑張って探す。
残りは３通り。素数は２・３・５・７…小さいカードに当たりをつける。
大問４
（３）難所。
高校受験の折り返し図形では、求めたい長さをｘとおいて折り返しで等辺移動、
三平方でｘを求めるのが王道の流れ。
そこで、素直にＭＨ＝ｘとして、ＢＨ＝ｘ→ＨＣ＝12－ｘまで出しておく。
60°といえば有名三角形。三平方で必要な高さを求める用の角度だと察する。
平行四辺形の高さとともに横の辺もわかり、△ＭＨＮの３辺が表せる。
左側の折り返し部分で何とかしようとすると沼にハマる。
大問５
（２）②ｘ軸上のＱはいったんおいといて、四角形の面積を２倍にした三角形を考える。
Ｄをｙ軸に移動させて三角形に変形。底辺２倍で面積２倍→ｙ軸上の頂点をｘ軸に移す。
ｙ軸上で面積の管理をして、等積変形を２度おこなう。
大問６
（２）②差がつく。経験も必要。
円錐の下３ｃｍは水を押しのける。押しのけられた水はどこに向かうのか。
2021年長崎大問４では、逆に円錐を水から少し引き上げる。
2019年千葉大問５では、円錐容器の水に円柱を沈め、あふれ出た水の体積を求める。
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