2015年度　東京都立高校入試【数学】解説

平均６２．０点

問題はコチラから→ＰＤＦファイル

大問１（小問集合）－78.5％

（１）　76.3％
－７＋８÷１/２＝ｰ７＋１６＝９

（２）　97.2％
９ａ＋４ｂ－（ａ－3ｂ）
＝９ａ＋４ｂ－ａ＋３ｂ＝８ａ＋７ｂ

（３）　90.％
（√６＋５）（√６－２）
＝６＋３√６－１０＝－４＋３√６

（４）　91.4％
ｘ－７＝９（ｘ＋１）
ｘ－７＝９ｘ＋９
－８ｘ＝１６　　ｘ＝－２

（５）　91.5％
連立方程式。代入法でも加減法でも。
ｘ＝４、ｙ＝－１

（６）　77.1％
因数分解できないので解の公式を使う。
ｘ＝（－５±√３７）/２

（７）　72.8％
代入して求めてもＯＫ。
ｙ＝ａｘ²でｘの値がｐ→ｑに増加するとき、変化の割合はａ（ｐ＋ｑ）
１/３(６＋９)＝５

（８）　67.3％
｢少なくとも１個は白｣→全体－２個とも赤　全体＝５×４＝２０通り
２個同時＝１個ずつ２回にわけて取ると考えて、２個とも赤なのは３×２＝６通り
赤２個の確率は６/２０＝３/１０。　よって、１－３/１０＝７/１０

（９）　42.0％
公式解答通り。ＢＣの垂直二等分線→ＢＣ中点とＡを直線で結ぶ。
作図の基本問題だけど、正解率は部分正解を含め４２％。
大問１オールクリアで４６点。是が非でもとりたいところ。

大問２（文字式を使った説明）－48.4％

（１）　78.6％
台形の面積。問題文から辺の長さがｂ、ｃとなる辺に書き込む。
上底ＡＰ＝ｂ、ＢＱ＝ｃ。よって、ｂ＋ｃ

（２）　18.1％！
式の説明問題。
流れは<Ｍさんの考え方を図で表したもの>に従い、
回転させた同じ図形をくっつけて長方形→半分。
長方形だから縦×横。
縦・・段数と一緒でｎ個
横・・段数＋１で増えていくので最下段は（ｎ＋１）＋２＝ｎ＋３
式を述べてしめる。

大問３（関数とグラフ）－53.6％

直線ℓは固定。ℓ上のＰの位置が決まってから直線ｍが決定される。
（１）　82.2％
直線ℓの式から明らか。答えはｘ座標だけ。
２

（２）　54.1％
Ａ（０、６）Ｐ（４、０）　２点を結ぶ直線の式を求める。
Ａは直線ｍの切片、Ｐ座標とあわせて、０＝４ａ＋６
ａ＝－３/２　ｍ：ｙ＝－３/２ｘ＋６

（３）　24.3％！
Ｐの座標が知りたい。Ｐのｘ座標をｔをおく。Ｐ（ｔ、ｔ－４）
△ＡＣＰは底辺１０高さt、△BQPは底辺ｔ－４、高さｔ－４。
△ＡＣＰの面積＝△ＢＱＰの面積×５。二次方程式を解く。
１０ｔ＝(ｔ－４)（ｔ－４）×５　（÷２ははじめから除外している）
１０ｔ＝５（ｔ²－８ｔ＋１６）　←両辺÷５
２ｔ＝t²－８ｔ＋１６
ｔ²－１０ｔ＋１６＝(ｔ－２)(ｔ－８)＝０
問題文からｔ＞４なので、ｔ＝８　　ＰＱ＝８－４＝４ｃｍ

大問４（平面図形）－48.7％

（１）　52.3％
△ＡＢＱで外角定理。∠ＡＱＢ＝１８０－３０－ａ＝１５０－ａ。対頂角で移す。

（２）①公式解答参照。　78.6％
円がでてきたら、円周角の定理や、円に内接する図形の性質を思い浮かべる。
証明問題としては基本なのでとりたいところ。

②　　15.0％！
△ＡＱＢと△ＣＱＰにこだわり過ぎるとハマる。
また、いろんなところが等しくなるので見失いやすい。
結論からいうと△ＡＢＰ≡△ＢＡＣと△ＡＢＣ∽△ＡＰＲを使う。
①の証明をふまえると△ＡＢＰ≡△ＡＣＲ≡△ＡＢＣと、
３つの三角形(9-9-6の二等辺三角形)が合同となる。

＠△ＡＢＰ≡△ＢＡＣの証明＠
ＡＢ＝ＢＰ＝９ｃｍから、底角で∠ＢＡＰ＝∠ＢＰＡ。弧ＡＢの円周角から∠ＢＰＡ＝∠ＡＣＢ。
ＡＢ＝ＡＣ＝９ｃｍから、底角で∠ＡＣＢ＝∠ＡＢＣ
（まとめると∠ＢＡＰ＝∠ＢＰＡ＝∠ＡＣＢ＝∠ＡＢＣ）
△ＡＢＰと△ＢＡＣで、２角が等しいから残りの角も等しい。∠ＡＢＰ＝∠ＢＡＣ
２辺と間の角が等しい→△ＡＢＰ≡△ＢＡＣ。①の証明から照らし合わせると
△ＡＢＰ≡△ＡＣＲ≡△ＡＢＣ。

＠△ＡＢＣ∽△ＡＰＲの証明＠
前の合同証明から対応する辺が等しいので、ＡＰ＝ＡＲ。△ＡＰＲが二等辺三角形とわかる。
同様に対応する角から、∠ＡＰＢ＝∠ＡＲＣ。
つまり、∠ＡＲＰ＝∠ＡＰＢ＝３つの合同な二等辺三角形の底角。
（内接する四角形の性質から、∠ＡＢＣ＝∠ＡＰＲとも導ける）
２角（2つの底角）が等しいので、△ＡＢＣ∽△ＡＰＲ
対応する辺の比から、ＢＣ：ＰＲ＝ＡＢ：ＡＰ＝９：６。ＢＣ＝６だから、ＰＲ＝６×６/９＝４ｃｍ
ＣＲ＝９なので、ＣＰ＝９－４＝５ｃｍ

逆算で、ＣＰの長さ→ＣＲがわかるのでＰＲ知りたい→⊿ＡＰＲの相似と連想をする。
いずれにせよ△ＡＰＲに注目しないといけない。
細かい認定が連鎖するので苦労する。
ちなみに∠ＲＣＡ＝∠ＢＡＣで錯角が等しいからＲＣ//ＡＢ。四角形ＡＢＣＰは等脚台形となる。

大問５（立体図形）－20.5％

（１）　36.5％
なんとなくで９０°は×。△ＢＣＰの辺の長さを調査する。
△ＤＢＰ≡△ＤＰＣ≡△ＤＣＢ（４ｃｍ－４ｃｍの直角二等辺三角形）
ＢＰ、ＰＣ、ＣＢは、３つの合同な直角三角形の斜辺なので３辺の長さが等しい。
よって、△ＢＣＰは正三角形なので∠ＢＰＣ＝６０°

（２）　4.6％！
方針はＡＭ⊥ＰＱなので、△ＱＢＣの底面積と高さＰＱがわかればうれしい。
ポイントは△ＡＭＤ。ＡＤ＝８。ＭＤは直角三角形ＢＣＤ内で三平方の定理を使う。
１：1：√２から、ＢＣ＝４√２。ＭＤ＝ＭＣ＝２√２。ＡＭを△ＡＭＤで三平方。ＡＭ＝６√２。
次に、△ＡＭＤ∽△ＡＰＱ（２角が等しい）を用いてＰＱを求める。
直角三角形のなかに小さな直角三角形があるとき（1鋭角が共通で2辺がダブっている）
相似を思い浮かべよう！
△ＡＭＤ：△ＡＰＱ＝ＡＭ：ＡＰ＝６√２：６＝３√３：３。ＭＤ＝２√２から、ＰＱ＝２√２×３/３√２＝２。
△ＡＰＱで三平方。ＡＱ＝４√２。ＱＭ＝ＡＭ－ＡＱ＝６√２－４√２＝２√２。
情報がそろったので、Ｐ－ＱＢＣの体積を求める。４√２×２√２÷２×２÷３＝１６/３ｃｍ³
方針が定まらない場合は、わかるところから辺の長さを求めて探っていく。
公立高校入試解説ページに戻る