2015年度 東京都立高校入試【数学】解説

平均62.0点

問題はコチラから→PDFファイル

大問1(小問集合)-78.5%

(1) 76.3%
-7+8÷1/2=ー7+16=9

(2) 97.2%
9a+4b-(a-3b)
=9a+4b-a+3b=8a+7b

(3) 90.%
(√6+5)(√6-2)
=6+3√6-10=-4+3√6

(4) 91.4%
x-7=9(x+1)
x-7=9x+9
-8x=16  x=-2

(5) 91.5%
連立方程式。代入法でも加減法でも。x=4、y=-1

(6) 77.1%
因数分解できないので解の公式
x=(-5±√37)/2

(7) 72.8%
代入して求めてもOK。
y=ax2でxの値がp→qに増加するとき、変化の割合a(p+q)
よって、1/3(6+9)=5

(8) 67.3%
「少なくとも1個は白」→全体-2個とも赤 全体=5×4=20通り
2個同時=1個ずつ2回にわけて取ると考えて、2個とも赤なのは3×2=6通り
赤2個の確率は6/20=3/10。 よって、1-3/10=7/10

(9) 42.0%
公式解答通り。BCの垂直二等分線→BC中点とAを直線で結ぶ。
作図の基本問題だけど、正解率は部分正解を含め42%。
大問1オールクリアで46点。是が非でもとりたいところ。

大問2(文字式を使った説明)-48.4%

(1) 78.6%
台形の面積。問題文から辺の長さがb、cとなる辺に書き込む。
上底AP=b、BQ=c。よって、b+c

(2) 18.1%!
式の説明問題。数学だけど、日本語を多分に書かないといけないので面倒くさい(;´Д`)
流れは<Mさんの考え方を図で表したもの>に従い、
回転させた同じ図形をくっつけて長方形→半分。
長方形だから縦×横。
縦・・段数と一緒でn個
横・・段数+1で増えていくので最下段は(n+1)+2=n+3
式を述べてしめる。

大問3(関数とグラフ)-53.6%

直線ℓは固定。ℓ上のPの位置が決まってから直線mが決定される。
(1) 82.2%
直線ℓの式から明らか。答えはx座標だけですよ。2

(2) 54.1%
A(0、6)P(4、0) 2点を結ぶ直線の式を求める。
Aは直線mの切片、P座標とあわせて、0=4a+6 a=-3/2 m:y=-3/2x+6

(3) 24.3%!
Pの座標が知りたい。Pのx座標をtをおく。P(t、t-4)
△ACPは底辺10高さt、△BQPは底辺t-4、高さt-4。
△ACPの面積=△BQPの面積×5。二次方程式を解く。
10t=(t-4)(t-4)×5 (÷2ははじめから除外している)
10t=5(t2-8t+16) ←両辺÷5
2t=t2-8t+16
2-10t+16=(t-2)(t-8)=0
問題文からt>4なので、t=8  PQ=8-4=4cm

大問4(平面図形)-48.7%

(1) 52.3%
△ABQで外角定理。∠AQB=180-30-a=150-a。対頂角からこれ。

(2)①公式解答参照。 78.6%
円がでてきたら、円周角の定理や、円に内接する図形の性質を思い浮かべる。
証明問題としては基本なのでとりたいところ。

②  15.0%!
△AQBと△CQPにこだわり過ぎるとハマる。
また、いろんなところが等しくなるので見失いやすい。
結論からいうと△ABP≡△BACと△ABC∽△APRを使う。
①の証明をふまえると△ABP≡△ACR≡△ABCと、
3つの三角形(9-9-6の二等辺三角形)が合同となる。

@△ABP≡△BACの証明@
AB=BP=9cmから、底角で∠BAP=∠BPA。弧ABの円周角から∠BPA=∠ACB。
AB=AC=9cmから、底角で∠ACB=∠ABC
(まとめると∠BAP=∠BPA=∠ACB=∠ABC)
△ABPと△BACで、2角が等しいから残りの角も等しい。∠ABP=∠BAC
2辺と間の角が等しい→△ABP≡△BAC。①の証明から照らし合わせると
△ABP≡△ACR≡△ABC。

@△ABC∽△APRの証明@
前の合同証明から対応する辺が等しいので、AP=AR。△APRが二等辺三角形とわかる。
同様に対応する角から、∠APB=∠ARC。
つまり、∠ARP=∠APB=3つの合同な二等辺三角形の底角。
(内接する四角形の性質から、∠ABC=∠APRとも導ける)
2角(2つの底角)が等しいので、△ABC∽△APR
対応する辺の比から、BC:PR=AB:AP=9:6。BC=6だから、PR=6×6/9=4cm
CR=9なので、CP=9-4=5cm

逆算で、CPの長さ→CRがわかるのでPR知りたい→⊿APRの相似と連想をする。
いずれにせよ△APRに注目しないといけない
細かい認定が連鎖するので苦労する。
ちなみに∠RCA=∠BACで錯角が等しいからRC//AB。四角形ABCPは等脚台形となる。

大問5(立体図形)-20.5%

(1) 36.5%
なんとなくで90°は×。△BCPの辺の長さを調査する。
△DBP≡△DPC≡△DCB(4cm-4cmの直角二等辺三角形)
BP、PC、CBは、3つの合同な直角三角形の斜辺なので3辺の長さが等しい。
よって、△BCPは正三角形なので∠BPC=60°

(2) 4.6%!
方針はAM⊥PQなので、△QBCの底面積と高さPQがわかればうれしい。
ポイントは△AMD。AD=8。MDは直角三角形BCD内で三平方の定理を使う。
1:1:√2から、BC=4√2。MD=MC=2√2。AMを△AMDで三平方。AM=6√2。
次に、△AMD∽△APQ(2角が等しい)を用いてPQを求める。
直角三角形のなかに小さな直角三角形があるとき(1鋭角が共通で2辺がダブっている)
相似を思い浮かべよう!

△AMD:△APQ=AM:AP=6√2:6=3√3:3。MD=2√2から、PQ=2√2×3/3√2=2。
△APQで三平方。AQ=4√2。QM=AM-AQ=6√2-4√2=2√2。
情報がそろったので、P-QBCの体積を求める。4√2×2√2÷2×2÷3=16/3cm3
方針が定まらない場合は、わかるところから辺の長さを求めて探っていく。
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