2024年度 長野県公立高校入試問題過去問【数学】解説

問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合)

(1)
3-(-5)
=3+5
=8

(2)
1/6xy2÷1/12xy
=2y

(3)
8の倍数になる→8でくくれる。
8n+16
=8(n+2)
n+2は整数だから、8(n+2)は8の倍数。

(4)
2-y2
=(x+y)(x-y)
={(√5+√3)+(√5-√3)}{(√5+√3)-(√5-√3)}
=2√5×2√3
=4√15

(5)
2-3-10
=(x+2)(x-5)=0
x=-2、5

(6)
(132+x):(12+x)=7:2
内項と外項の積から、7(12+x)=2(132+x)
84+7x=264+2x
5x=180
x=36

@別解@

算数では上のような線分図を描き、132-12=120=⑤だから、
加えた後の砂糖は、120×②/⑤=48g
x=48-12=36g

(7)

66°を錯角で降ろし、赤線の三角形で外角定理。
x=66-22=44°

(8)

円の中心の作図。
中心Oは円周上の3点A・B・Cから等距離にある。
①ABの垂直二等分線→A・Bから等距離にある点の集合。
②BCの垂直二等分線→B・Cから等距離にある点の集合。
③2つの直線の交点は3点A・B・Cから等距離にある中心O。

(9)①

グラフが下に凸→a>0
上に凸→b、c<0
絶対値が小さいほど、グラフの開きは大きくなる
bの方がグラフの開きが大きい→bはcより絶対値が小さい→bとcは負同士だからb>c
a>b>c



Bのx座標は、4÷2=2
これをy=3x2に代入する。
y=3×22=12
B(2、12)

(10)
奇数⇒一の位が1か3であれば、十・百の位はなんでもいい
取り出した順に左から並べるが、一度に3枚とって右の一の位から並べても同じ。
一の位が1か3は3枚中2枚。奇数になる確率は
2/3

(11)

最小値…24、最大値…50
15人の中央値(Q2)は8番目の値…34
第1四分位数(Q1)は下位7人の真ん中、下から4番目…26
第3四分位数(Q3)は上位7人の真ん中、上から4番目…42


大問2(総合問題)

Ⅰ(1)①

階級の幅が左は60分、右は30分。
ア:図1は150分以上に絞っていないので読み取れない。×
同じ全校生徒のデータなので、150分以上の生徒の人数は同じである。
イ:範囲=最大値-最小値。いずれの値もヒストグラムからは不明。×
ウ:最頻値は最も表れている値。図1…90分、図2…45分。〇
エ:図1の中央値は60~120分。図2は即断しにくいが、30~60分ではないと推測できる。×
次の度数分布表から、全校生徒の人数は302+148=450人
中央値は225番目と226番目の平均で、図2では60~90分の階級に属する。

②ⅰ
60分未満の生徒は、1・2年が302人中94人、3年が148人中80人。
母数(=度数の合計)が違う。


データの傾向を調べるので、【う】は最小値や最大値でもなく代表値。
これだけでアと絞れてしまう。。
代表値…平均値・中央値・最頻値などの総称。

受験辞典より。
度数分布多角形は横に階級、縦に度数や相対度数をとり、その分布を折れ線で示したもの。
度数の合計が異なる複数のデータを比較する際に用いる

(2)①

220人の意味は右側に書いてある。
解答例:4月の「好き」「どちらかといえば好き」と答えた人数の合計

@余談@
x…4月の「好き」、y…4月の「どちらかといえば好き」の人数。
7月の「好き」「どちらかといえば好き」の合計が278人で、
xの10%増、yの40%増の和に相当するから、110/100x+140/100y=278


同様に、冬もx…4月の「好き」、y…4月の「どちらかといえば好き」。
10/100xは、「好き」の10%増加分。
冬は増加する人数に着目している

増加した人数の合計は、278-220=58人
「どちらかといえば好き」の増加は40/100y人。
【好きが増えた人数=増えた人数の合計-どちらかといえば好きが増えた人数】
10/100x=58-40/100y


x+y=220 …①
夏の2つ目を100倍→110x+140y=27800 …②
②-①×110をすると、30y=3600
y=120
①に代入、x=220-120=100

4月の好きが100人。7月の好きは、100×110%=110人
4月…100人、7月…110人

Ⅱ(1)
回転体は半径3cmの球。
【球の体積V=4/3πr3
4/3π×33=36πcm3

(2)
球の表面積S=4πr2
図4の球の表面積は、4π×32=36πcm2

円錐の側面の展開図が半円(中心角180°)になった。
母線:半径の比は中心角(半円180°:円360°)の逆比
母線:半径=360:180=②:①
底面の円の半径は、6×①/②=3cm
図5の表面積は、3×3×π+6×6×π×1/2=27πcm2
図4の表面積は図5の表面積の36π/27π=4/3倍


大問3(数量変化・関数)

Ⅰ(1)

y軸は図書館からの距離。
鈴の家は-500mなので、学校から図書館とは反対方向の500m地点にある。
桜の家は+400m地点なので、両家は400+500=900m離れている。
あ…500、い…900

(2)
桜は11分後に家を出発する。
分速50m→傾き50
(11、400)から左に11、下に11×50=550m下がるので、
切片は400-550=-150
直線の式は、y=50x-150

xの変域を求める。左端の点はx=11
右端は図書館に着いた時刻である。
先ほどの式にy=1500を代入する
1500=50x-150
x=33→xの変域は11≦x≦33
y=50x-150、11≦x≦33

(3)
桜が家を出発してから5分後→11+5=16分後
鈴が家を出発する15分後において、グラフより両者は600+500=1100m離れている
1分間に200-50=150mずつ差が縮まるから、
16分後の両者の差は、1100-150=950m

(4)

鈴が桜に追いついた時間を33分後にする
自転車に乗っていた時間は、(1500+500)m÷分速200m=10分
鈴が家を出たのは、33-10=23分後
鈴が家に到着した時刻から、23-10=
13分後

Ⅱ(1)①
反比例は双曲線だが、xとyがともに自然数である点を数える。
格子点は(1、12)(2、6)(3、4)(4、3)(6、2)(12、1)の6個。



反比例の比例定数aはxとyの積で一定
y=12/xであれば、Aから各軸におろした垂線と軸に囲まれた四角形の面積は常に12cm2になる。
直角二等辺三角形OABを2つくっつけた、上図の青い四角形は12cm2の正方形
1辺をxとすると、対角線OAは√2x。

2=12
x>0より、x=2√3cm
OA=2√3×√2=2√6cm

(2)①

y=8/xにx=2を代入→D(2、4)
Cのx座標は4、同様に代入→C(4、2)
DEは原点Oを通る。Eは原点についてDに対称な点→E(-2、-4)

E(-2、-4)→C(4、2)
右に6、上に6だから、CEの傾きは1。
Cから左に2、下に2移動すると、x軸との交点は(2、0)
ちょうどDの真下の点である。
E~Cの幅は6cmだから、△CDEの面積は4×6÷2=12cm2



Cを通る△CDEの二等分線→DEの中点Oを通過する
すなわち、OCの式を求めればいい。
y=1/2x


大問4(平面図形)

(1)

ABが30°回転してEB→AB=EB、∠ABE=30°
△ABEは二等辺だから、∠AEB=(180-30)÷2=
75°

(2)①
△ABE∽△CBFの証明。

長方形の内角は90°
∠ABE=90-∠CBE=∠CBF
∠ABE=∠CBF

回転移動の対応する辺から、BA=BE、BC=BF
△ABEと△CBFは二等辺三角形である。
2つの底角は等しいので、∠BAE=∠BEA()、∠BCF=∠BFC(

三角形の内角の和は180°だから、それぞれの内角を求めると、
1/2(180-∠ABE)=∠BAE(
1/2(180-∠CBF)=∠BCF(
が成り立つ。二等辺の頂角が等しければ底角も等しい
2角相等で∽。
あ…∠CBE、い…2つの底角、う…180°


今度は2辺の比とあいだの角をつかって同様の証明をおこなう。

前半は先ほどと重複します(^^;
90-∠CBEつながりで、∠ABE=∠CBF
BA:BC=6:3=2:1
同様に、BE:BF=2:1
BA:BC=BE:BF
2辺とあいだの角が等しいから∽

(3)

△CBF∽△ABEから、CF:AE=3:6=1:2

今度はCFとDGを1辺とする三角形に着目する。
同じ長方形の対角線から、DB=GB

角度調査。
△ABDと△FGBは同じ長方形の半分で合同
×=90°で等角を打つと、∠DBG=180-(×)=90°
頂角を90°とする二等辺三角形→△CBF∽△DBG
△ABDで三平方→DB=3√5cm
CF:DG=3:3√5=1:√5
え…2、お…√5

(4)
難問。線分が多くて迷子になる。

前問の情報を統合すると、△CBF∽△ABE∽△DBGであり、
相似比は1:2:√5→2乗して面積比は1:4:5である。

長方形を何度回転させたのかわからない。
EH=5cmの情報から要は点Hである
BH=6-5=1cm
△CBF付近に情報が集まっているので、△CBF×5=△DBGを目指す
また、△ABE→△CBFに着目すると、AB⊥CBから対応するAE⊥CFが成り立つ。

二等辺の底角を内角に含む直角三角形の辺の比は、△BFHから1:3である
BCとAEの交点をIとする。
△BFH∽△BAIより、BI=6÷3=2cm
IC=3-2=1cm

下をピックアップします。FCとIEの交点をJとする。
同様に、を含む直角三角形に注目すると3つの青い三角形が∽
最も短いIJ=①とすると、JC=③
△IJC∽△HJEの相似比は1:5→HJ=⑤

△HBFで三平方→FH=√10cm
△IJCの辺の比で三平方をすると、1cm=〇√10だから、
FH=√10cm×√10=⑩
方針;△HBF→△CBF→△BDG
3×1÷2×⑱/⑩×5=27/2cm2

@別解@
お助けマンさんより素晴らしい別解を頂きました。

BからDGにおろした垂線との交点をIとします
△BDGは二等辺三角形なのでIはDGの中点ですから、△IDB×2=△BDGとなります。
△BFH∽△IDBに着目します。
相似比は√10:3√5→面積比は2乗して、△BFH:△IDB=②:⑨
したがって、△BDGの面積は、1×3÷2×⑨/②×2=27/2cm2
こちらの方が筋道がハッキリしており、模範解答だと思います。
公立高校入試解説ページに戻る

◆menu◆ 公立高校入試…関東圏メイン。千葉だけ5教科あります。%は正答率。
国私立高校入試…数学科のみ。ハイレベルな問題をそろえてみました。
難関中算数科…中学受験の要。数学とは異次元の恐ろしさ(;´Д`)
難関中社会科…年度別。暗記だけじゃ無理な問題がいっぱい!
難関中理科…物化生地の分野別。初見の問題を現場思考でこなせるか。
難問特色検査…英国数理社の教科横断型思考問題。
センター試験…今のところ公民科だけ(^-^;ニュース記事だけじゃ解けないよ!
勉強方法の紹介…いろいろ雑記φ(・・。)
QUIZ…☆4以上はムズいよ!
noteも書いています(っ´ω`c)
入試問題を題材にした読み物や個人的なことを綴っていこうと思います。
気軽にお立ち寄り下さい(*^^*)→サボのnote
サボのツイッターはコチラ→

コメント

  1. お助けマン より:

     こんばんは。諸事情で大変な中、長野県公立高校入試数学問題の解説アップに、感謝しています。ありがとうございます。先生のおっしゃる通り、問4の(4)は、難問かと思います。そこで、私は、△BFHと△IDBに着目して、次のように解いてみました。点Iは、点BよりDGにおろした垂線との交点をIとしました。尚、BD=√6²+3²=3√5です。
    [別解]
    △BFH∽△IDBより
    FH:BH=DB:IBより √10:1=3√5:IB
    IB=3√2/2
    また、BH:BF=IB:IDより、
    1:3=3√/2:ID よってID=9√2/2
    △DBGの面積は、底辺(IDの2倍)✕高さ(BI)の半分なので、
    △DBG=2✕ID✕BI✕1/2
       =2✕9√2/2✕3√2/2✕1/2
       =27✕2/4=27/2  答え27/2cm²
     以上ですが、今回は、相似の関係を△DBGに直接、適用して解いてみました。サボ先生の諸事情もありますので、ご返信はなしで良いかと存じます。 これからも宜しくお願いします。お助けマンより。

    • 家庭教師サボ より:

      コメントありがとうございます。
      少々立て込んでおりまして、ブログの方はゆっくり進めさせて頂こうと思います。

      お助けマンさんの解法は素晴らしいと思いました。直接求めた方が筋道がスッキリしますね!
      こちらこそ勉強になりました。ありがとうございます。のちほど少し改変した形で付記させて頂きますね。
      サボ

  2. お助けマン より:

     おはようございます。早速のご返事、ありがとうございます。とても嬉しく思います。しかも私の解法につきまして、有り難いお言葉を頂戴出来、感無量でございます。今回の問4の(4)は、先生のおっしゃるように、相似の関係を用いて、直接求めたい三角形の面積を求める方が良いかと思い、投稿させていただきました。そして、後ほど、少し改変された解法もご紹介いただけますので、本当に嬉しく思います。これからも宜しくお願いします。お助けマンより。

  3. お助けマン より:

    サボ先生へ
     おはようございます。早速の別解の改変版のご紹介、ありがとうございます。相似比を用いて、面積は、相似比の2乗を用いると、即解できますね。サボ先生の別解の改変も本当に掲載いただけて、とても嬉しく思います。ありがとうございます。
    今回の長野県の入試問題を取り組んでみて思うのは、「小手先のテクニックで解ける問題よりも思考力の要する問題」、特に今回の問4の(4)は、思考力の要する問題かと思います。
     今回の長野県の公立高校数学入試の素早いアップに本当に感謝しています。これからも宜しくお願いします。お助けマンより。

  4. お助けマン より:

     こんにちは。いつもお世話になっております。サボ先生の本文で、私の@別解@に間違いを見つけました。それは、下から2行目の「したがって、△IDBの面積は、1✕3÷2✕⑨/②✕2=27/2cm²」は間違いで、正しくは、「したがって、△BDGの面積は、1✕3÷2✕⑨/②✕2=27/2cm²」かと思います。ご確認いただけますと有り難く存じます。サボ先生のおっしゃるように、最後に
    ✕2より、△IDB✕2=△BDGとなりますので、答えの確認の意味で、投稿させていただきました。お助けマンより。

    • 家庭教師サボ より:

      コメントありがとうございます。
      最後が求めたい三角形ではありませんでしたね(汗)
      別解紹介で誤りを書いてしまって申し訳ないです。訂正いたしました。

  5. お助けマン より:

     こんにちは。早速の訂正、ありがとうございます。しっかりと訂正してもらえまして、良かったです。これからも宜しくお願いします。お助けマンより。

  6. よく来たな、佐川急便! より:

    ラス問は確かにTHE公立の難問ですね。中部地方の問題(特に石川、福井、新潟、長野らへん)は普通に煩雑で難しい問題が多く解きごたえがあると感じます。県は変わりますが今年の新潟の後半の大問は結構難しかったと感じます。

    • 家庭教師サボ より:

      コメントありがとうございます。

      最後は悩みました。前問にこだわらない方が良かったなと後悔です…。
      公立入試に詳しいですね。今は秋田に目をつけているのですが、新潟の問題も探してみます。

タイトルとURLをコピーしました