2025年度　大阪府公立高校入試Ｃ問題過去問【数学】解説

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問題ＰＤＦ

大問１（小問集合）

（１）
ｘ²－４ｘ＋６
＝（ｘ－２）²－４＋６　←代入
＝（２－√２－２）²＋２
＝２＋２
＝４

（２）
（３ｘ＋ｙ）²－３ｘ－ｙ－２
＝（３ｘ＋ｙ）²－（３ｘ＋ｙ）－２　←３ｘ＋ｙ＝Ｘに置き換え
＝Ｘ²－Ｘ－２
＝（Ｘ－２）（Ｘ＋１）　←３ｘ＋ｙに戻す
＝（３ｘ＋ｙ－２）（３ｘ＋ｙ＋１）

（３）
ｘ＝５、ｙ＝－１を代入。
５－ａ＝４－２ｂ
ａ－２ｂ＝１　…①
５ｂ－１＝２ａ
２ａ－５ｂ＝－１　…②

①×２－②をすると、ｂ＝３
①に代入、ａ－６＝１
ａ＝７
ａ＝７、ｂ＝３

（４）
２√ｎ＜√ｘ＜３√ｎ　←２乗
４ｎ＜ｘ＜９ｎ
両端を含まないので－１する。
（９ｎ－４ｎ）－１＝５ｎ－１個

＠余談＠
両端を含む…５ｎ＋１個
片方を含む…５ｎ個
両端を含まない…５ｎ－１個

（５）

ｙ＝１/２ｘ²にｙの値を代入しておく。
18＝１/２ｘ²→ｘ＝±６
８＝１/２ｘ²→ｘ＝±４

ｃ＝ａ＋３、ｄ＝ｂ＋３
ａ～ｂを＋３ズラすとｃ～ｄになる。
●ａ≦ｘ≦ｂ…０≦ｙ≦18
最小値ｙ＝０から原点を通過→ａ≦０、０≦ｂ
ｘ＝ｂのときにｙ＝18だと、ｘ＝ｄのときのｙは18を超える。×
ｘ＝ａのとき、最大値ｙ＝18
ａ≦０より、ａ＝－６

●ｃ≦ｘ≦ｄ…０≦ｙ≦８
最小値ｙ＝０から原点を通過→ｄ≧０
ｃ＝－６＋３＝－３
ｘ＝ｄのとき、最大値ｙ＝８
ｄ≧０より、ｄ＝４
ｂ＝４－３＝１
ａ…－６、ｂ…１

（６）
2025＝３⁴×５²
2025の約数で場合分け。素因数から３の倍数か５の倍数である。
●１→×
●３→（ａ、ｂ）＝（１、１）
●５→（ａ、ｂ）＝（１、３）（２、１）
●９→（ａ、ｂ）＝（２、５）（３、３）（４、１）
●15→（ａ、ｂ）＝（５、５）（６、３）
最大で２×６＋６＝18だからもうない。
計８通り、全体は６×６＝36通りだから確率は８/36＝２/９

（７）

ｎの十の位をａ、一の位をｂとする。
●ｎとｎ²の一の位の数が同じ
→ｂとｂ²の一の位の数が同じ。
０×０＝０、１×１＝１、５×５＝25、６×６＝36
ｂ＝０、１、５、６
●十の位ａは、70ｎの十の位より３大きい。
→70ｎの十の位は７ｂの一の位。
〔ｂ⇒７ｂの一の位⇒ａ〕
０⇒０⇒３（ａ＝３、ｂ＝０→30）
１⇒７⇒７＋３＝10で９をover！×
５⇒５⇒８（ａ＝８、ｂ＝５→85）
６⇒２⇒５（ａ＝５、ｂ＝６→56）
ｎ＝30、56、85

（８）
答案では途中式を含めた求め方も説明する。

Ａ（－３、９ａ）Ｂ（－１、ａ）Ｄ（３、９ａ）
ＡＤ＝ＢＣ＝６なので、Ｃ（５、ａ）
ℓの傾き１/２→Ｃから左に②＝５、下に①＝５/２さがり、ℓの切片はａ－５/２
平行四辺形ＡＢＣＤ＝６×８ａ＝48ａ
△ＥＦＣは幅８、高さ９ａ－（ａ－５/２）＝８ａ＋５/２だから、
面積は８×（８ａ＋５/２）÷２＝４（８ａ＋５/２）＝32ａ＋10
48ａ＝32ａ＋10
ａ＝５/８

大問２（平面図形）

（１）

∠ＣＡＤ＝１/２ａ°
二等辺ＡＢＣの頂角の二等分線ＡＤは、底辺ＢＣを垂直に２等分する。
∠ＡＤＣ＝90°
△ＡＤＣで外角定理→１/２ａ＋90°

（２）
△ＡＨＤ∽△ＣＤＧの証明。

二等辺ＡＢＣの頂角の二等分線ＡＤは、底辺ＢＣを垂直に２等分する。
これと仮定を合わせて、∠ＡＨＤ＝∠ＣＤＧ＝90°
ＦとＤがそれぞれＢＥ、ＢＣの中点であることに着目する。
△ＢＣＥにおいて中点連結定理より、ＦＤ//ＥＣ
錯角で∠ＡＤＨ＝∠ＣＧＤ
２角相等で∽

（３）①

△ＡＣＤで三平方→ＡＤ＝２√10ｃｍ
ＥＧ//ＦＤより、ＡＥ：ＥＦ＝ＡＧ：ＧＤ＝１：１
ＧＤ＝２√10÷２＝√10ｃｍ
△ＧＣＤで三平方→ＧＣ＝√19ｃｍ

②

Ｈが二等辺の外側にあり、△ＡＨＢと相似である三角形が見つからない…。
△ＡＨＢと△ＡＤＢは底辺がＡＢで共通なので、
高さの比であるＨＦ：ＦＤが２つの三角形の面積比にあたる。
おまけに△ＡＤＢは面積が求めやすい→面積比を調べる。

（１）の相似から、△ＡＨＤ：△ＣＤＧ＝ＡＤ²：ＣＧ²
＝（２√10）²：（√19）²＝40：19

ＧはＡＤの中点→△ＡＤＣ＝19×２＝38
ＡＦ：ＦＢ＝△ＡＨＤ：△ＢＨＤ＝②：①→四角形ＡＨＢＤ＝40×③/②＝60

△ＡＤＢ＝△ＡＤＣ＝38だから、△ＡＨＢ＝60－38＝22
ＨＦ：ＦＤ＝△ＡＨＢ：△ＡＤＢ＝22：38＝⑪：⑲
△ＡＨＢ＝△ＡＤＢ×⑪/⑲＝３×２√10÷２×⑪/⑲＝33√10/19ｃｍ²

大問３（空間図形）

（１）①

ねじれの位置…延長しても交わらない、かつ平行でもない。
同一平面上にない関係を指す。
ＡＤはＡでＡＢと交わる。
ＤＥはＥ方向に延長するとＡＢと交わる。
（ＡＤもＤＥも面ＡＢＥＤ上の辺）
他３つはＡＢとネジレ。
イ・エ・オ

②

面ＡＣＦＤから捉える。
ＣからＡＤに垂線をひき、交点をＮとすると、
ＡＮ＝６－３＝３ｃｍ
ＡＣ//ＫＩより、２角相等で△ＡＣＮ∽△ＫＩＤ
ＣＮ：ＮＡ＝ＩＤ：ＤＫ＝⑤：③

ＪからＡＤに垂線、交点をＯとする。
四角形ＡＪＩＫは２組の対辺が等しい平行四辺形。
ＡＪ＝ＫＩより、△ＫＩＤを上に平行移動させると△ＡＪＯになる。
△ＡＪＯで三平方→ＡＪ＝〇34

ＯＧに補助線。
△ＤＨＩを上に平行移動すると△ＯＧＪ
△ＤＨＩ∽△ＤＥＦより、ＤＩ：ＨＩ＝ＤＦ：ＥＦ＝５：４
ＨＩ＝ＧＪ＝④
また、ＧＪ//ＢＣより、∠ＡＪＧ＝∠ＪＣＢ＝90°
△ＡＧＪ…④×〇√34＝〇4√34
△ＫＩＤ…⑤×③＝⑮
△ＡＧＪは△ＫＩＤの４√34÷15＝４√34/15倍

③

前問の比が使える。
ＫＤ＝３ｘ（③）とすると、ＡＫ＝６－３ｘ
平行四辺形ＡＪＩＫの対辺より、ＪＩ＝６－３ｘ
ＧＪ＝（６－３ｘ）－１＝５－３ｘ
これが４ｘ（④）に相当する。
５－３ｘ＝４ｘ
ｘ＝５/７

ＧＪ＝５－３ｘ＝５－３×５/７＝20/７ｃｍ
四角形ＧＨＩＪの周の長さは、（20/７×２＋１）×２＝94/７ｃｍ

（２）①

最短距離なので展開図を作成。
△ＥＦＬ∽△ＡＤＬより、ＦＬ：ＬＤ＝②：③
△ＤＭＬ∽△ＤＥＦより、ＭＬ＝４×③/⑤＝12/５ｃｍ

②

ＦＬ＝２ｃｍ、ＬＤ＝３ｃｍ
△ＡＣＬ＝台形ＡＣＦＤ－△ＣＦＬ－△ＡＬＤ
＝（３＋６）×５÷２－２×３÷２－３×６÷２
＝21/２ｃｍ²
お馴染みの断頭三角柱を用いる。
高さはＡ・ＢＣ・ＭＬの平均だから求積すべき立体の体積は、
21/２×（０＋４＋12/５）÷３＝112/５ｃｍ³