2021年度 埼玉県公立高校入試過去問【数学】解説

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出題範囲の除外は円周角と中心角、三平方の定理、標本調査、実生活で相似を活用する問題。

大問1(小問集合)

(1)
4x-9x
=-5x

(2)
-3+(-4)×5
=-3-20=-23

(3)
4xy÷8x×6y
=3y2

(4)
3x+2=5x-6
2x=8
x=4

(5)
2√3-15/√3
=2√3-5√3
=-3√3

(6)
2+7x-18
=(x-2)(x+9)

(7)
5x-4y=9 …①
2x-3y=5 …②
サボは①×2-②×5をしました。
 10x-8y=18
-)10x-15y=25
    7y=-7
y=-1
②に代入。2x+3=5
x=1
x=1、y=-1

(8)
2x2-5x+1=0
解の公式を適用して、
x=(5±√17)/4

(9)

外角定理より、ブーメランの3つの角の和は股の角
32+x+45=94
x=17°

(10)
yの変域が0以下なので、上に凸のグラフ。
x=3のとき、最小値y=-36
y=ax2は(3、-36)の点を通過するから、
-36=32
a=-4

(11)
球の体積V=4/3πr3
V=4/3π×23=32/3πcm3

球の表面積S=4πr2
S=4π×22=16πcm2

(12)

底面をどこかに定める。ア・エのように、横に並ぶ場合は2個先が平行な面。
あとは、接する辺に合わせるように面を回転させて判断する。

(13)
公立高校入試で有効数字はめずらしい。
整数部分が1桁だから、12700の最高位である1を1の位に置き換える。
→小数点は1と2の間にくる。
1.27×10000
最後に10の指数で調整。
1.27×104
ア…1.27、イ…4

(14)
ア:『同様に確からしいもの』は、あくまでも可能性。
イ:そんなワケあるか(´゚д゚`)
ウ:そんなワケあるか(´゚д゚`)
エ:3以下は1/2。4以上も1/2。確率は同じ。

(15)
40人の中央値(メジアン)は20番目と21番目の平均。
→6~8時間の階級に含まれる。
14÷40=0.35

(16)
説明問題。
図を利用する。各々の長さを求めて比べればいい。

端っこにある扇形を集めると1つの円になる
アとイは直線部分で違いが出る。
差は、8×2-4×3=4cm


大問2(作図&関数)

(1)
作図問題。

教科書レベルです。
『2点A、Bから等距離にある』→ABの垂直二等分線上のどこか。
これと直線ℓとの交点がPとなる。

(2)
ここも難しくない。

y=2x2に代入して、A(-3、18)B(2、8)

Cのx座標が知りたい。
A→Bは左に5、下に10移動。
B→Cは下に8さがるので、左に5×8/10=4移動する。
Cのx座標は、2+4=6 C(6、0)
△AOCの面積は、6×18÷2=54cm2

大問3(整数)

(1)ア
4で割ると1余る数⇒4の倍数+1
1、5、9、13…
13


3x+5にx=13を代入するだけ。
3×13+5=44

(2)①
4で割ると1余る自然数をn(0以上の整数)で表す。
4n+1
(*n=0、1、2、3…を代入すると、値は1、5、9、13…になる


説明問題。
最後の1文に書かれてある内容をそのままやり遂げればいい。

3x+5のxに4n+1を放り込むと、
3(4n+1)+5
=12n+8
=4(3n+2)
3n+2が整数だから、4(3n+2)は4の倍数である。


大問4(平面図形)

(1)
△ABC∽△ACDの証明。

簡単すぎる(;^ω^)
共通角で∠BAC=∠CAD
あとは問題文の∠ABC=∠ACDを写生。
2角が等しく∽。

(2)

前問の△ABC∽△ACDを利用。
AB:AC=AC:AD=6:4=③:②
AB=6×③/②=9cm

△BCEで外角定理→∠AEC=●×
△AECの底角が●×で等しく、二等辺三角形とわかる
AE=6cm
BE=9-6=3cm

@別解@

AB=9cmまでは先ほどと同様。
BD=9-4=5cm
△ABC∽△ACDの辺の比で、BC:CD=③:②
角の二等分線の定理で、CD:CB=DE:EB=【2】:【3】
BE=5×【3】/【5】=3cm
*公立高校入試対策でも角の二等分線の定理はおさえておくべきです。

(3)

角の二等分線の定理から、AB:AC=BF:FC=9:6=③:②
どうしても角の二等分線の定理を使いたくない!٩(๑`^´๑)۶という人は、
△ABGと△ACGの高さの比からBF:FC=③:②と出しましょう。

二等辺AECにおいて、頂角の二等分線は底辺ECを垂直に二等分する
EG=GC
【△ABC⇒△EBC⇒△GBC⇒△GFC】
18×3/9×1/2×②/⑤=6/5cm2

@別解@

EG=GCより、△ABGと四角形AGBCは9cm2

AE:EB=2:1から、△AGC:△BGC=2:1
△AGC=6cm2、△BGC=3cm2

△ABG:△ACG=3:2より、BF:FC=③:②
△GFC…3×②/⑤=6/5cm2
中学受験の世界では『ベンツ切り』というそうな( ´д)ヒソ(´д`)ヒソ(д` )

大問1
オール基本問題。
(9)ブーメラン型は外角定理の練習問題にある。
(12)サイコロは中受でよく出題されるが、本問は基本であった。
(13)有効数字の出題は全国的にめずらしいです。不意打ちが怖い。
(14)ここ間違えたら恥ずかしいべ(´゚д゚`)
(16)公式解答によると、違いが出る直線部分の引き算だけでOKらしい。
大問2
小問2題だが、頻出で典型で定番な基本問題。
大問3
丁寧な誘導が補助輪になっている。
(2)②代入して4でくくるだけ。難しくない。
大問4
(1)捻りもなにも無い証明問題。
(2)この形の相似には慣れておきたい。△AECが二等辺三角形である点がポイント。
(3)もはや角の二等分線の定理は必須。他県でも見かける。ここも二等辺AECを利用する。
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