2013年度 千葉県公立高校入試【後期】数学解説

問題はコチラ→東京新聞さん

大問1(計算)

(1)7+(-9)
=7-9=-2

(2)8÷(-2/3)2
=8÷4/9=18

(3)3(2a-b)-(a-3b)
=6a-3b-a+3b  ←符号注意
=5a

(4)正十角形の1つの内角を求める問題。
正n角形の内角の和の式→180(n-2)
180×(10-2)=180×8=1440
よって、1440÷10=144°

(5)(√5+√3)(2√5-√3)
=10-√15+2√15-3
=7+√15

(6)x2-3x-1 ←因数分解できないので解の公式
=(3±√9+4)/2
=(3±√13)/2
計30点

大問2(小問集合)

(1)
x=3のとき、y=1/3×32=3
x=6のとき、y=1/3×62=12
変化の割合=(yの増加量)/(xの増加量)
(12-3) / (6-3)=3  よって、ウ

@別解@
y=ax2のグラフにおいて、xの値がpからqまで増加するときの変化の割合はa(p+q)
1/3(3+6)=3

(2)
連立方程式。
ケーキの個数をx個、シュークリームの個数をy個をおく。
250x+200y=4400・・・【1】
また、個数の比から、x:y=2:3
内項の積と外項の積が等しいから、3x=2y 
・・・【2】

【2】を変形、3x-2y=0
【1】+【2】×100

250x+200y=4400
+)300x+200y=   0
  550x     =4400

x=8  よって、ケーキは8個

(3)
円錐の体積=底面積×高さ×1/3
底面積の円の半径は5cm。
高さは三平方の定理より、5:12:13 の直角三角形だから12cm。
よって、5×5×π×12×1/3=100πcm3

(4)
確率=(起こりえる場合の数)/(全体の場合の数)
全体・・6×6=36通り
起こりえる場合・・aを基準に場合わけして調べる。
a=1  b=1、2、3、4、5、6
a=2  b=2、4、6
a=3  b=3、6
a=4  b=4
a=5  b=5
a=6  b=6   起こりえる場合の数は14通り。
したがって、確率は14/36=7/18

(5)
「開いた角度」が90°→垂線の作図

半直線BA。Aから等しい距離をとる。

両端からヒョコヒョコ。
この線上に辺AB’がくる。

右側に半円を描きたい。
しかし、右側の半円の中心がわかっていない。
そこで、まず左側の半円の中心を探し、それを右側に移動させる。

直径ABの垂直二等分線と交わったところが点O
これが左側の半円の中心となる。

点Aから点Oをとって、さきほどの線上と重ねる。
交点は点O’となり、右側の半円の中心となる。

最後にAO’をとり、グルッと半周。
B’が求まる。

@別解@
Aを通るABとの垂線を描いたあと、Bを先に右側へ移動させ、
AB’の垂直二等分線からO’を求めて半円を作ることもできる。



大問3(文字式)

規則
【1】Pの値は、Aに入れた数とBに入れた数の和をなる。
【2】Qの値は、Bに入れた数からCに入れた数をひいた値となる。
【3】Rの値は、Aに入れた数とCに入れた数の積となる。
【4】Sの値は、P、Q、Rに表示された3つの数の和となる。

(1)文字式。
面倒くさそうにみえるが、式に置き換えてしまうと意外と単純に見えてくる。
P+Q+R=S
(A+B)+(B-C)+AC=S
Aに4、Bに1/2、Cにa、Sに-1をそれぞれ代入する。

(4+1/2)+(1/2-a)+4a=-1
5+3a=-1
a=-2

(2) 連続する3つの整数をx、x+1、x+2とおく。
同様に、Aにx、Bにx+1、Cにx+2、Sに0を代入、因数分解。

{x+(x+1)}+{(x+1)-(x+2)}+{x(x+2)}
=(2x+1)+(-1)+(x2+2x)
=x2+4x=x(x+4)=0
x=-4、0  よって、a=-4、0

(3)代入までは前問と同様。式をうまく整列させるセンスが求められる。
(a+b)+(b-c)+ac=S
(a+c)+(c-b)+ab=S
結果は共にSなので等式にする。
(a+b)+(b-c)+ac=(a+c)+(c-b)+ab
a+2b-c+ac=a+2c-b+ab
2b-c+ac=2c-b+ab  ←aを消去

3b+ac-3c-ab=0    ←すべてを左辺へ
3(b-c)-a(b-c)=0  ←(b-c)で割る
3-a=0
a=3

@別解@
b(3-a)-c(3-a)=0にしてもOK。
この等式が成り立つためには、aが3でなければ成り立ちません。
bとcがともに0であればaはなんでもよいのですが、

仮定からbとcは互いに異なる数となっています。
bが0でcがO以外、cが0でbが0以外を試してみましょう。
aに3を入れなければ0にはできません。
すなわち、aは必ず3でなくてはなりません。
a=3

大問4(関数)

(1)関数y=6/xから、A(2、3)B(-2、-3)

AとBは原点に対象の点。
長方形の周は、4+4+6+6=20cm

(2)最小の長さを考える前に、 わかるところから地道にひも解いていく。
初期状態。

AP=2AQから、QA:AP=1:2 P座標が求まる。
AとPの座標が求まったので、直線ℓの式が求まる。
連立などで、ℓ:y=-1/2a+4
切片Qの座標が(0、4)とわかる。

ここで、Rの位置を知りたい。
△PQRの周の長さが最小となるためにはRをどこに置くべきか。
1辺であるQPはすでに長さが固定されているので、QR+RPの長さが最小になればよい長さが最小=直線! 直線を描くために、線対称を用いて1本の線に置き換える
そこで、x軸を対象の軸としてQを対象移動させる。
Q’(0、-4)とPを結び、x軸との交点がRとなる。
直線だからQ’Pは最小の長さとなり、線対称よりQR=Q’RなのでQR+RQは最小となる
Q’Pの直線の式を求める。
y=5/6x-4
Rはx軸上の点なので、y=0を代入。
5/6x-4=0
5/6x=4
x=24/5
R(24/5、0)



大問5(平面図形)

(1)誘導に従って解く。
△ABDと△BCEにおいて、対応する辺や角度を調べればよい。

正三角形の1辺より、AB=BC・・(a)
正三角形の1角より、∠ABD=∠BCE・・(b)
仮定から、BD=CE
以上より、合同条件は2辺とその間の角が等しい。・・(c)
(a)・・・イ (b)・・・カ (c)・・・イ

(2)
「AGを結ぶ」からAGを1辺とする三角形と、「BF=CG」の証明から、
これらを1辺とする三角形のなかで合同っぽいものに目星をつけて検証する。
すると、△ABFと△ACGが合同っぽい。

仮定から△ABCは正三角形  AB=AC
図形が円に囲まれている→円周角の定理をフル活用
弧AGに対する円周角で、

∠ABF=∠ACG=×
前の証明から△ABD≡△BCEを利用。対応する角は等しいので、
∠BAF=∠CBE=●
さらに弧CGに対する円周角で、
∠CBE=∠CAG
つなげて、∠BAF=CAG
一辺両端角が等しい→△ABF≡△ACG→対応する辺が等しい→BF=CG

以下、模範解答例。
~~引用はじめ~~
△ABFと△ACGにおいて、
仮定から、AB=AC    ・・・【5】
【4】より、∠BAF=∠CBG ・・・【6】
弧CGに対する円周角が等しいことから、
∠CBD=∠CAG ・・・【7】
【6】、【7】より、
∠BAF=∠CAG ・・・【8】
弧AGに対する円周角が等しいことから、
∠ABF=∠ACG ・・・【9】
【5】、【8】、【9】より、1辺とその両端角が等しいので、
△ABF≡△ACG
したがって、BF=CG
~~引用おわり~~

(3)いわゆる、方べきの定理
方べきの定理を知らなくても、中学で習う相似で乗り越えられる。
仮定と、前問で証明した合同な三角形をフルに使って長さを求める。

△ABEと△GCEにおいて、
弧BCに対する円周角より、∠EAB=∠EGC
弧AGに対する円周角より、∠ABE=∠GCE
2角が等しいので、△ABE∽△GCE
△ABE:△GCE=BE:CE=7:3

EG=EA×3/7=5×3/7=15/7
BG=7+15/7=64/7cm

*方べきの定理・・BE×EG=AE×EC
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