2012年度 千葉県公立高校入試【前期】数学解説

問題はコチラ→東京新聞さん

大問1(計算)

(1)
(-7)+15
=-7+15
=8

(2)
8-(-5)2 ÷5/2
=8-25×2/5=-2

(3)
1/2(4a+8b)-3(a-b)
=2a+4b-3a+3b  ←符号注意!
=-a+7b

(4)
一次関数の一般式は、y=ax+b
点(1、3)を通る → x=1のときy=3
傾き-2      → a=-2
3=-2×1+b
3=-2+b
b=5
よって、 y=-2x+5

(5)
(√3+2)(2√3-1)
=6-√3+4√3-2 ←根号つきの展開はケアレス注意
=4+3√3

(6)
2x2-7x+4=0
因数分解ができそうで出来ない・・・。
そこで、解の公式。
x=(7±√17) /4

ちなみに、平方完成で解くと・・
2x-7x+4=0
-7/2x+2=0  ←両辺を÷2
-7/2x=-2
(x-7/4)-49/16=-2 ←7/4の2乗が49/16なので
(x-7/4)=17/16
x-7/4=±√17/4
x=(7±√17)/4

大問2(小問集合)

(1)

チーバくん、高校入試にあらわる!! いつもツイッター見てるよ(σ・д・)σ
面積比=辺の比×辺の比
チーバくんは複雑な形をしていますが、上の定理は使えます。
辺の比は3:5なので、面積比は3×3:5×5=9:25   よってウ。

(2)
いろんな解き方があるかと思います。
円が描かれていることから、円周角の定理をフル活用して、
判明した角度をどんどん図に書き込んでみましょう。
そうすれば糸口が見えてくると思います。
以下、最短ルートと思われる解法です。

対頂角から、∠DOC=48°
弧DCに着目し、∠DECは∠DOCの円周角であることから、∠24°

BDとECの交点をFとして、△EFD上の外角定理から、
∠ODE=90-24=66°

(3)
回転図形は、底面積が必ず円になります。
イメージ図↓


ホールケーキのような形になります。
イメージに成功できれば、正解したようなものです。
まれに表面積を求めるのに、体積を求める人がいますが・・・

計算するときは、赤い部分の表面積を半径4cmの円と考え、
一括処理しちゃいましょう。
4×4×π×2+4×2×π×2+2×2×π×2=32π+16π+8π=56πcm3

(4)
問題:√(50-2n)/3が自然数になるとき、自然数nの値を求める。

一行問題だけど、正解率は低い:;(∩´﹏`∩);:
自然数は、1、2、3、4、5…と続く数の総称。
√(50-2n)/3が自然数であるということは、
分子の√(50-2n)が根号を外せる形でないといけません。
根号付きの数を3で割っても自然数にはなりませんからね(無理数になる)。
根号を外せる形とは、根号の中が1、4、9、16・・・といった平方数。

つまり、、、
①:50-2nが平方数。(=√を外せる)
②:50-2nが3で割り切れる。
③:nが自然数。
nに1、2、3・・を代入して、地道に調べる方法もありますが、
50-2nがどんな平方数になるかを調べた方が早いです。

①より、50-2nの平方数として候補にあがるのは、
1、4、9、16、25、36、49のみ。
64だと50を超えてしまいます。
nが負の数も含めれば50-2nの値は50を超えますが、
nも自然数なので50-2nの値は50未満になります。
②より、50-2が3で割り切れる場合は、
先ほどの候補から3の倍数である、 √9=3 or √36=6。
③より、√9だと、50-2n=9  n=20.5となり、
nが自然数ではなくなるので×。
√36だと、50-2n=36 n=7となり、nも自然数となります。
答えは7。

(5)
値の大きくなるbから考える。
b=1 3 =3 a=1、2、3、4、5
b=2 3 =9 a=1、2、3
b=3 3 =27 a=1
以上、9通り
サイコロの出目は6×6=36通り
よって、確率は9/36=1/4

(6)
点Aを頂点、点Bが底辺の中点になるように正三角形を書きます。
単純そうに見えますが、簡単ではないと思われます。
最初の突破口は、正三角形の性質のなかで何が使えるのかを見つけることです。
正三角形の真ん中の芯から、両サイドの頂点を作図するにはどうすれば良いでしょうか?

正解は、正三角形の底辺を垂直に二等分する線は頂点を通ること
この逆も真で、頂点と底辺の中点を通る線(本問でいうAB)は底辺(PQ)と垂直に交わります。そこで、点Bを通るABと垂直な線を書きます。

まずは半直線ABをひいて・・

こんな感じに。
この線上のどこかにP、Qが潜んでいるわけです。

ここから悩んだ受験生、多かったと思います。
PB=QB、AP=AQから辺で攻めようとしても、
どの辺の長さもわからず八方塞に・・・。

そこで角度から攻めます
正三角形を縦に割ったとき、半分になった三角形は、
直角、60°、30°の直角三角形になります。

頂点AからABと30°になる線をひければ、
先ほどのひいた線と交わるところが底角になります。
そこで、30°をつくりたいわけですが、いきなりは作れません:(っ`ω´c):
いったん60°を作成して、それを二等分する手法をとります。
1つ作業をはさまなくてはならないのですね。
そして、60°の作成といえば正三角形です。
ABを1辺とする正三角形を画きます。

ABの長さをとって、AとBからヒョコ、ヒョコを印をつけます。

ここから、角の二等分線。

(画像がバグってる!w(゚ロ゚)w 左のBは気にしないでください)
交わった点がPです。
あとは、APの長さをとって、それを反対側にもっていけばQ誕生。

完成! ものすごいいびつな正三角形になってしまいました・・

<別解>
公式の正解表にある別解の解説です。

基本的には、上と同じ考えを用います。
まずは、BだけでなくAについても垂線をひきます。

ここで、ABから30°の線をひくのですが、
60°製作のために画く正三角形を外側におきます
つまり、上は60÷2=30でしたが、今度は90-60=30です。


Aから適当な長さをとって・・・

交点から同じ長さでグルっと線を・・

の交点とAを結べば、∠BAP=30°になります。

あとは、APの長さを反対にもってきてQをつくれば完成!



大問3(文章題)

(1)
標本調査に関する問題です。
標本調査とは、テレビの視聴率のように全ての受信機(テレビ)を調べるのが困難な場合、
アットランダムで抽出した一部の標本を調査し、
その中での傾向から全体(母集団)を推測する統計手法です。

( 1 )・・・360
1000:12=30000: ? と比で解いてもOKです。

後半は、連立方程式の問題であることに気づけば、あとは計算をするだけです。
LED電球をx個、白熱電球をy個とおき、値段と消費電力で2つの式を立てます。
3000x+100y=122000 ・・A
10x+60y=1600       ・・B
受験生に人気なのは加減法だと思いますが、ここでは代入法で解いてみます。
Bを÷10して、
x+6y=160
x=160-6y
Aに代入
3000(160-6y)+100y=122000
480000ー18000y+100y=122000
17900y=358000
y=20
x=160-6×20=160-120=40
LED電球が40個、白熱電球が20個。
( 2 )・・・40 ( 3 )・・・20
ケタが多いので、ケアレスに注意してくださいね!

(2)
1つずつ丁寧に処理していきます。
1ヶ月の使用時間が200時間で、LED電球の寿命が40000時間なので、
40000÷200=200ヶ月  ( 4 )・・・200

総費用y は、電気料金と値段をあわせたものです
y= ( 5 ) x+3000のうち、
3000がLED電球の値段で、( 5 )xが電気料金です。
初期コストの3000円で固定費で、電気料金は使用時間に応じた流動費だからです。
xは月ベースなので、1ヶ月あたりの電気使用量は、
0.23円(1時間あたりの電気料金)×200時間=46円    ( 5 )・・・46

( 5 )と同様に、y=変動費の電気料金+固定費だから、
y=1.38×200x+100=276x+100  ( 6 )・・・276x+100

白熱電球は5ヶ月で寿命を迎えるので、5<x≦10すなわち5ヶ月~10ヵ月後では
電気料金は変わらないのですが、新しく電球を買うので固定費が+100となります。
よってy=276x+200   ( 7 )・・・276x+200

( 8 )が最大の難所:;(∩´﹏`∩);:
LED電球は( 5 )からy=46x+3000
白熱電球は( 6 )、( 7 )からy=276x+100
ただしxが5増えるたびに+100の条件付

問題文のグラフにLED電球のグラフを書いて、白熱電球のグラフと交わったx座標が答えなのですが、y軸に目盛りがないので正確なグラフを画くのは困難かと思います(汗)

とりあえず、 白熱の条件を無視して上の2式の交点をだします。
46x+3000=276x
+100
230x=2900
x=2900÷230=12.60・・・
条件なしだと12ヶ月後にLEDの方がお得になるのですが、
条件を考慮すると白熱では5ヶ月ごとに100円加算されるので、
実際、LEDがお得になる時期はもっと早く訪れます

12ヶ月後では白熱電球を2回取りかえているので+200されますから、
46x+3000=276x+300
230x=2700
x=2700/230=11.73・・・   よって、11ヵ月後にLEDの方が白熱よりお得になる。
( 8 )・・・11

大問4(関数)

(1)
放物線の式を求める問題ですから、放物線上の点座標に注目します
y=axより、 A(4、16a)
EFはCDの2分の1で、y=axはy軸を対称軸として左右対称なので、
Fのx座標は2。 よって、F(2、4a)

一方で、Bのx座標は、Aのx座標と左右対称なので-4。
つまり、正方形の一辺は長さは、4-(-4)=8
ということは、Aのy座標とFのy座標の差も8なので、
16a-4a=12a=8
a=2/3

(2)
△ABEと△APEの面積が等しくなるとき・・ときたら等積変形です。
イメージ図↓

底辺を同じくすれば、頂点をどこに平行移動しても面積は等しくなります
これは、三角形の面積は、底面×高さ÷2で求まるところ、
底面が同じで、かつ平行線の距離はどこも等しいことから高さも同じなので、
面積も等しくなるからです。
AEを底辺にBをy軸へ平行移動したところが点Pとなります。
そして、点Pを求めるにはBPの式を求めます。
BPの式を求めるには、BPの傾きとB座標が必要です。
B座標は(1)より判明します。
BPの傾きは平行であれば傾きが等しいことから、EAの傾きとなります。
EAの傾きを知るには、AとEの座標が必要です。

(1)より、A(4、32/3)
Eの座標はFと左右対称なのでE(-2、8/3)
2点を通る一次関数の式は連立方程式を利用
32/3=4a+b
8/3 =-2a+b
6a=8
a=4/3
(*EAの傾きを知りたいので、bは不要)

BPの傾きも4/3
BはAと左右対称なので、B(-4、32/3)

32/3=-4×4/3+b
32/3=-16/3+b
b=16
BPの式は、 y=4/3x+16
PはBPの切片なので、P(0、16)




大問5(平面図形)

(1)
AIとBGに印をつけてみます。

これらが等しいということは、これらを一辺とする三角形が互いに合同であること
証明すればAI=BGが示されます。よって、cは合同ですね。
問題はどの三角形を選択するかです。
△ABIからでも証明できるのですが、これを選んでしまうと対応する△BCGが
選択肢にないので誤りとなります。
よって答えは△AIEと△BGEのイ。
選択肢の中で対応する組み合わせはイしかありません。

(2)
普段は、証明の出だしがあらかじめ書かれているのですが、
今年は初めから自力で書き出させる形式となりました。
△AIEと△BGEの各々の辺と角を眺めて、どこが等しくなるのかを考えます
正方形は、各々の対角線を垂直に2等分しますから、
AE=BE 
∠AEI=∠BEG=90°
2辺とその間の角ですとIE=GEを示さなくてはなりませんが、
どちらの辺の長さも不明なので使えません。
そこで、∠EAI=EBGを示して一辺両端角が等しいかを考えます。

ここで、△AIEと△BIHに注目です
仮定と正方形の性質から、
∠AEI=∠BHI=90°
対頂角で、
∠AIE=BIH
2つの角が等しいのであれば、残りの角も等しくなるので、
∠EAI=EBG
一辺両端角が等しいことから、
△AIE≡△BGE
よって、AI=BG

(3)
満点を取らせない問題かと思われます。(泣)
この手の問題は、大抵前問を利用するのですが、
△AIEと△BIHにこだわり過ぎると正解にたどりつけません
視点を変えて、どこが合同か、あるいは相似かを探し出さなくてはなりません。
最終的には正方形の面積を求めたいので、
正方形の1辺か対角線の長さがわかればOKなのですが、
一体、どれが使える図形なのでしょうか。

結論からいえば、△BHI∽△AGHを利用します。
これらは(2)より、2角が等しいので相似になります。
AI=BGなので、AI=2+3=5
そして、IHをxとおくと・・・

△BIH:△AGH=2:x=(5+x):3
2、3、5すべての数字を利用していますし、
また1つの文字しか使用していない式なので、
これで新しい辺の長さが求まるようになります。

内項と外項の積が等しいことから、
x×(5+x)=2×3
+5x=6
+5xー6=0
(x+6)(x-1)=0
xは長さなのでx>0 x=1
IH=1
AH=5+1=6
△ABHにおいて、三平方の定理から・・

AB=√40
よって、正方形ABCDは
√40×√40=40cm2

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