2020年度 明治学園中学過去問【算数】大問5解説

半径3cmの球の体積は、底面が半径3cmの円で、高さが6cmの円柱の体積の3分の2に等しいことが知られています。このことを利用して、次の問いに答えなさい。
(1)
半径3cmの球の体積を求めなさい。

(2)
図1のような直方体の箱があります。この箱の内部を半径3cmの球が自由に動き回るとき、動き回ることのできる部分は図2のような立体になります。この立体の体積は、半径3cmの球の体積の何倍ですか。

(3)
1辺の長さが15cmの立方体の箱があります。この箱の内部を半径3cmの球が自由に動き回るとき、動き回ることのできる部分の体積を求めなさい。


@解説@
(1)
問題文の情報から式を立てる。
3×3×3.14×6×2/3=113.04cm3
*半径をr、円周率をπとして、〔球の体積V=4/3πr3〕と中学1年生で習います。

(2)

おそらく、こうやって欲しいのだと思う(‘Д’)
問題文から半径3cmの球と、底面が半径3cm高さ6cmの円柱の体積比が2:3。
半径3cm高さ6cmの円柱と、同じ底面で高さ9cmの体積比も2:3。
これを連比処理すると④:⑥:⑨。
図2の立体は、球+高さ9cmの円柱だから④+⑨=⑬
球の体積の13/4倍。

(3)
難関校対策クラスではやるのかもしれないが…ムズいべ(;´Д`)
求積すべき立体がイメージできないと話にならない。

わかりやすい場所からいきます。
15cmの立方体の各頂点に8つの球を設置。
この球の中心を頂点とする立方体(1辺9cm)の内部は、球がすべて通過できる。


つづいて、内部の立方体の各6面に接する、外側の立体を考える。
1辺15cm立方体を上からみると、4つの円の中心を頂点とする1辺9cm正方形の内部は、
すべて球が通過する。立体で捉えれば、9cm×9cm×3cmの四角柱で、これが6つ。
*うえの図では上面と左面しか記載していません(;^ω^)

さらに、先ほどの9×9×3の四角柱の外側に注意を向けると、
半径3cm中心角90°の扇形の柱体がある。
この柱体は1辺15cmの立方体の辺に1本ずつあるので合計12本。
4本集めると半径3cm高さ9cmの円柱となるから、前問の体積比でいえば⑨となる。
円柱は12÷4=3個できるので体積比の合計は㉗。

最後に立方体の8つの頂点には、それぞれ球の8分の1がある。
8つ集めると
半径3cmの球となり、前問の体積比でいえば④。

まとめると・・・
9×9×9+9×9×3×6+113.04×(㉗+④)/④
=729+1458+876.06=
3063.06cm3
類題を解いて理解していれば辛うじて式は立てやすいが、そうじゃないとかなり厳しい(´~`)
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