問題ＰＤＦ
半径３ｃｍの球の体積は、底面が半径３ｃｍの円で、高さが６ｃｍの円柱の体積の３分の２に等しいことが知られています。このことを利用して、次の問いに答えなさい。
（１）
半径３ｃｍの球の体積を求めなさい。
（２）
図１のような直方体の箱があります。この箱の内部を半径３ｃｍの球が自由に動き回るとき、動き回ることのできる部分は図２のような立体になります。この立体の体積は、半径３ｃｍの球の体積の何倍ですか。
（３）
１辺の長さが15ｃｍの立方体の箱があります。この箱の内部を半径３ｃｍの球が自由に動き回るとき、動き回ることのできる部分の体積を求めなさい。
＠解説＠
（１）
問題文の情報から式を立てる。
３×３×3.14×６×２/３＝113.04ｃｍ3
*半径をｒ、円周率をπとして、〔球の体積Ｖ＝４/３πｒ3〕と中学１年生で習います。
（２）
おそらく、こうやって欲しいのだと思う。
問題文から半径３ｃｍの球と、底面が半径３ｃｍ高さ６ｃｍの円柱の体積比が２：３
半径３ｃｍ高さ６ｃｍの円柱と、同じ底面で高さ９ｃｍの体積比も２：３
これを連比処理すると④：⑥：⑨
図２の立体は、球＋高さ９ｃｍの円柱だから④＋⑨＝⑬
球の体積の13/４倍。
（３）
求積すべき立体がイメージできないと太刀打ちできない。
わかりやすい場所からいきます。
15ｃｍの立方体の各頂点に８つの球を設置。
この球の中心を頂点とする立方体（１辺９ｃｍ）の内部は、球がすべて通過できる。
つづいて、内部の立方体の各６面に接する、外側の立体を考える。
１辺15ｃｍ立方体を上からみると、４つの円の中心を頂点とする１辺９ｃｍ正方形の内部は、
すべて球が通過する。立体で捉えれば、９ｃｍ×９ｃｍ×３ｃｍの直方体でこれが６つ。
*うえの図では上面と左面しか記載していません！(;^ω^)
さらに、先ほどの９×９×３の直方体の外側に注意を向けると、
半径３ｃｍ中心角90°の扇形の柱体がある。
この柱体は１辺15ｃｍの立方体の辺に１本ずつあるので合計12本。
４本集めると半径３ｃｍ高さ９ｃｍの円柱となるから、前問の体積比でいえば⑨となる。
円柱は12÷４＝３個できるので体積比の合計は㉗。
最後に立方体の８つの頂点には、それぞれ球の８分の１がある。
８つ集めると半径３ｃｍの球となり、前問の体積比でいえば④。
まとめると･･･
９×９×９＋９×９×３×６＋113.04×（㉗＋④）/④
＝729＋1458＋876.06＝3063.06ｃｍ3
＠別解＠
立方体から通過できない部分をひいてもよい。
立方体全体…15×15×15＝3375ｃｍ3
８つの角の和は、１辺６ｃｍの立方体から半径３ｃｍの球の体積をひく。
６×６×６－113.04＝102.96ｃｍ3
各辺の端は、底面積が１辺６ｃｍの正方形から半径３ｃｍの円をひいたもので、
高さが９ｃｍの空洞柱体が合計３本。
（６×６－３×３×3.14）×９×３＝7.74×27＝208.98ｃｍ3
3375－102.96－208.98＝3063.06ｃｍ3
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