2020年度 久留米大学附設高校過去問【数学】大問5解説


上図のような正四面体P-ABCDがあり、すべての辺は球面Sに接している。
球面Sの中心Oは、頂点Pから底面ABCDに引いた垂線PH上にある。
辺PAと球面Sの接点をQとする。
球面Sの半径が1、OHの長さが√2/4のとき、次の問いに答えよ。
(1)
線分AHの長さを求めよ。

(2)
線分OA、QAの長さをそれぞれ求めよ。

(3)
線分PO、PQの長さをそれぞれx、yとする。x、yの値を求めよ。

(4)
二等辺三角形PABの内接円の半径rを求めよ。


@解説@
(1)
問題文に数字が2つしかない。。
球の半径が1なので、球と正四角錘が接するポイントを探す。

ABの中点をEとする。Eが接点
△OHEで三平方。
HE2=12-(√2/4)2
=1-1/8=7/8
HE>0より、HE=√14/4

△HEAは直角二等辺だから。AH=√14/4×√2=√7/2

(2)
OH=√2/4、AH=√7/2
△OAHで三平方。
OA2=(√2/4)2+(√7/2)2=15/8
OA>0で、OA=√30/4

前問のEを使う。
球面SとPAの接点がQ。
Eも球面上にあるABとの接点。
△APBで球面SはAP上でQと、AB上でEと接する。
そして、円外の点から接点までの接線の長さは等しい。
QA=EA=√14/4

(3)
(2)と同じ、2本の線分の長さを求めるが、
わざわざx、yに置き換えているということは連立を組めということ。
POとPQを1辺とする三角形で相似関係を見つける。

ズバリ、△PAH∽△POQ
PO:OQ=PA:AHから、
√7/2x=y+√14/4 …①
PQ:QO=PH:HAから、
√7/2y=x+√2/4 …②

これを解けばいいが、計算処理がツライ(;´Д`)
以下、代入法。

(*‘ω‘ *)キッツー
x=3√2/2、y=√14/2

(4)
PA=PQ+QA=√14/2+√14/4=3√14/4

球面Sの中心をRとする。
△APEで三平方→PE=√7
△APE∽△RPQよりQRの長さは、

r=√7/4
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