問題ＰＤＦ
下図のような正四面体Ｐ－ＡＢＣＤがあり、すべての辺は球面Ｓに接している。
球面Ｓの中心Ｏは、頂点Ｐから底面ＡＢＣＤに引いた垂線ＰＨ上にある。
辺ＰＡと球面Ｓの接点をＱとする。
球面Ｓの半径が１、ＯＨの長さが√２/４のとき、次の問いに答えよ。
（１）
線分ＡＨの長さを求めよ。
（２）
線分ＯＡ、ＱＡの長さをそれぞれ求めよ。
（３）
線分ＰＯ、ＰＱの長さをそれぞれｘ、ｙとする。ｘ、ｙの値を求めよ。
（４）
二等辺三角形ＰＡＢの内接円の半径ｒを求めよ。
＠解説＠
（１）
問題文に数字が２つしかない。。
球の半径が１なので、球と正四角錘が接するポイントを探す。
ＡＢの中点をＥとする。Ｅが接点！
△ＯＨＥで三平方。
ＨＥ2＝１2－（√２/４）2
＝１－１/８＝７/８
ＨＥ＞０より、ＨＥ＝√14/４
△ＨＥＡは直角二等辺だから。ＡＨ＝√14/４×√２＝√７/２
（２）
ＯＨ＝√２/４、ＡＨ＝√７/２
△ＯＡＨで三平方。
ＯＡ2＝（√２/４）2＋（√７/２）2＝15/８
ＯＡ＞０で、ＯＡ＝√30/４
前問のＥを使う。
球面ＳとＰＡの接点がＱ。
Ｅも球面上にあるＡＢとの接点。
△ＡＰＢで球面ＳはＡＰ上でＱと、ＡＢ上でＥと接する。
そして、円外の点から接点までの接線の長さは等しい。
ＱＡ＝ＥＡ＝√14/４
（３）
（２）と同じ、２本の線分の長さを求めるが、
わざわざｘ、ｙに置き換えているということは連立を組めということ。
ＰＯとＰＱを１辺とする三角形で相似関係を見つける。
ズバリ、△ＰＡＨ∽△ＰＯＱ。
ＰＯ：ＯＱ＝ＰＡ：ＡＨから、
√７/２ｘ＝ｙ＋√14/４ …①
ＰＱ：ＱＯ＝ＰＨ：ＨＡから、
√７/２ｙ＝ｘ＋√２/４ …②
これを解けばいいが、計算処理がツライ(;´Д｀)
以下、代入法。
(*‘ω‘ *)ｷｯﾂｰ
ｘ＝３√２/２、ｙ＝√14/２
（４）
ＰＡ＝ＰＱ＋ＱＡ＝√14/２＋√14/４＝３√14/４
球面Ｓの中心をＲとする。
△ＡＰＥで三平方→ＰＥ＝√７
△ＡＰＥ∽△ＲＰＱよりＱＲの長さは、
ｒ＝√７/４
国私立高校入試解説ページに戻る
国私立高校入試…数学科のみ。ハイレベルな問題をそろえてみました。
難関中算数科…中学受験の要。数学とは異次元の恐ろしさ(;´Д｀)
難関中社会科…年度別。暗記だけじゃ無理な問題がいっぱい！
難関中理科…物化生地の分野別。初見の問題を現場思考でこなせるか。
難問特色検査…英国数理社の教科横断型思考問題。
センター試験…今のところ公民科だけ(^-^;ニュース記事だけじゃ解けないよ！
勉強方法の紹介…いろいろ雑記φ(・・。)
ＱＵＩＺ…☆４以上はムズいよ！
ｎｏｔｅも書いています(っ´ω`c)
入試問題を題材にした読み物や個人的なことを綴っていこうと思います。
気軽にお立ち寄り下さい(*^^*)→サボのｎｏｔｅ
サボのツイッターはコチラ→
コメント