2020年度　福島県公立高校入試問題過去問【数学】解説

平均21.8点（50点満点、前年比；－0.8点）

問題はコチラ→ＰＤＦファイル

大問１（計算）

（１）①　97.4％
－１－５＝－６

②　92.9％
（－12）÷４/３
＝（－12）×３/４＝－９

③　92.4％
３（２ｘ－ｙ）－（ｘ－５ｙ）
＝６ｘ－３ｙ－ｘ＋５ｙ
＝５ｘ＋２ｙ

④　91.6％
√20＋√５
＝２√５＋√５＝３√５

（２）　81.8％（部分正答0.5％）
ｙ＝ａｘに代入。
－15＝３ａ
ａ＝－５
ｙ＝－５ｘ

大問２（小問集合）

（１）　55.9％

アは左辺のカッコを展開。イは両辺を－４。
ウは両辺の２乗を平方根へ。エは両辺を÷２。
イ

（２）　7.1％!!（部分正答0.2％）
先月の個数を【100】とすると、今月の個数は【125】
ａ×100/125＝４/５ａ

（３）　42.8％

〇はＡとＢが出会う場所。
〇はＡがＢを後ろから追い越す場所。
２回

（４）　39.1％
側面の扇形の中心角は〔×半径/母線〕で処理。
８×８×π×２/８＝16πｃｍ²

（５）　24.0％！（部分正答9.8％）

直径に対する円周角は直角。
ＡＢの垂直二等分線、ＡＢとの交点をＯとすると、
ＯＡを半径としてＯを中心に円をつくる。
直径ＡＢに対する円周角で、∠ＡＰＢ＝90°
垂直二等分線を対称の軸とすると、線対称で対応する辺が等しい。ＡＰ＝ＢＰ
△ＰＡＢは直角二等辺三角形となる。

大問３（確率・標本調査）

（１）①　84.1％
Ａで０を出す。Ｂは何でも良い。
Ｂの１～６で６通り。

②　21.3％！
整数にならない場合のほうが少ないので、こちらを考える。
根号が外れて整数になる→ａｂの積が平方数
◆ａｂ＝１
（１、１）
◆ａｂ＝４
（１、４）（４、１）（２、２）
◆ａｂ＝９
（３、３）
◆ａｂ＝16
（４、４）
◆ａｂ＝25
（５、５）
以上、７通り。
また、０は整数だから前問のａｂ＝０も整数。
計13通り。

整数にならない場合は36－13＝23通り
全体は６×６＝36通り
確率は23/36。

（２）①　90.2％
（22＋17＋18＋23＋20）÷５
＝20個

②　50.4％（部分正答16.1％）
答案では、根拠となる数値を示したうえで理由を記述する。
無作為に抽出した60個のうち、赤の個数：白の個数＝40：20＝２：１
この割合は母集団も同じとみなす。
白は400個なので、赤は400×２/１＝800個
したがって、袋の中の赤は640個以上であると考えられる。
ア

大問４（方程式）

（１）　53.6％（部分正答13.7％）
ここも求める過程を記述する。
50円硬貨の枚数をｘ枚、10円硬貨の枚数をｙ枚とする。
100円硬貨は８枚だから、50円硬貨と10円硬貨は残りの72枚。
ｘ＋ｙ＝72…①
『10円硬貨は50円硬貨の枚数の２倍より６枚多かった』
ｙ＝２ｘ＋６…②
①、②を解くとｘ＝22、ｙ＝50
50円硬貨の枚数…22枚、10円硬貨の枚数…50枚

（２）　36.4％
ゆうとの12回目までの貯金総額は、100×８＋50×22＋10×50＝2400円
12回で2400円だから、4000円貯まったときの貯金回数は12×4000/2400＝20回
残りの貯金回数は20－12＝８回
姉は８回で4000円を貯める。4000÷８＝500円

大問５（平面図形）

1.0％!!!（部分正答4.8％！）
証明１題。踏むべき手順が多く、他の都道府県より難しい。
〔証明１〕

△ＡＢＤと△ＧＥＣにおいて、仮定からＢＤ＝ＥＣ
ＡＢ//ＧＥ→同位角で∠ＡＢＤ＝∠ＧＥＣ
ＡＢ//ＦＥ→２角が等しく△ＡＢＣ∽△ＦＥＣ→三角形と比の定理より、
ＡＢ：ＦＥ＝ＣＢ：ＣＥ＝③：①
仮定のＥＧ＝３ＥＦから、ＧＥ＝③
ＡＢ＝ＧＥ＝③（同じ比だから長さが等しい）
２辺とその間の角度が等しいので△ＡＢＤ≡△ＧＥＣ

対応する辺でＡＤ＝ＧＣ
対応する角で∠ＢＤＡ＝∠ＥＣＧ
同位角が等しく→ＡＤ//ＧＣ
１組の対辺が平行でかつ長さが等しいから、四角形ＡＤＣＧは平行四辺形である。
*ＡＤとＧＣに注目した証明。
三角形の合同証明に三角形と比の定理を使う点がいやらしい。

〔証明２〕

↑ここまでは先ほどと同様。
ＡＢ//ＧＥ、ＡＢ＝ＧＥ
１組の対辺が平行でかつ等しい→四角形ＡＢＥＧが平行四辺形。
ＡＧ//ＢＥ（ＡＧ//ＤＥ）

対辺が等しく、ＡＧ＝ＢＥ＝②
ここで平行四辺形ＡＢＥＧから四角形ＡＤＣＧに切り替える。
ＡＧ//ＤＣで、ＡＧ＝ＤＣ＝②
１組の対辺が平行でかつ長さが等しいから、四角形ＡＤＧＣは平行四辺形である。
*平行四辺形ＡＢＥＧを経由した証明。サボはこちらで解きました。
細かい点をどこまで記述すべきか悩む(;´～｀)

大問６（関数）

（１）　68.4％
ｙ＝２ｘ＋３の式にｘ＝－１を代入。
Ａ（－１、１）
これをｙ＝ａｘ²に代入。
１＝１ａ
ａ＝１

（２）①　34.9％（部分正答0.6％）

点の位置は正確に！
ｘ座標は１だからＰ（１、５）Ｑ（１、１）
長方形ＳＴＱＰの周の長さは（１＋４）×２＝10

②　4.2％!!（部分正答2.3％）

Ｐのｘ座標ｔで各座標を表す。
Ｐ（ｔ、２ｔ＋３）
Ｑ（ｔ、ｔ²）
長方形ＳＴＱＰの周の長さは、{ｔ＋（２ｔ＋３－ｔ²）}×２＝－２ｔ²＋６ｔ＋６
ＱＲを１辺とする正方形の周の長さは、ｔ²×４＝４ｔ²
－２ｔ²＋６ｔ＋６＝４ｔ²
６ｔ²－６ｔ－６＝０　←両辺を÷６
ｔ²－６ｔ－６＝０
因数分解ができないので解の公式を適用。
ｔ＝（１±√５）/２
仮定より０＜ｔ＜３だから、ｔ＝（１＋√５）/２

大問７（空間図形）

（１）　65.2％
△ＡＰＱは等辺を２√２ｃｍとする直角三角形。
１：１：√２より、ＰＱ＝２√２×√２/１＝４ｃｍ

（２）　13.2％！

上に三角錐を追加。延長線の交点をＩとする。
三角錐Ｉ－ＡＰＱと三角錘Ｉ－ＥＦＨは相似で辺の比は１：２。
ＩＡ＝６ｃｍ
△ＩＰＡで三平方→ＩＰ＝√44ｃｍ

△ＩＰＱは二等辺で、頂角Ｉから底辺ＰＱに垂線を引くと交点ＪはＰＱの中点となる。
ＰＪ＝２ｃｍ
△ＩＰＪで三平方→ＩＪ＝２√10ｃｍ
△ＩＰＱの面積は、４×２√10÷２＝４√10ｃｍ²

△ＩＰＱ：△ＩＦＨの面積比は①：④だから、
四角形ＰＦＨＱの面積は、４√10×③＝12√10ｃｍ²

（３）　1.0％!!!

↑この四角錘Ｓ－ＰＦＨＱの体積を求めよということだがフクザツ(;`ω´)
先ほど四角形ＰＦＨＱの面積を出したので、これを底面とする高さが知りたい。
Ｓから四角形ＰＦＨＱに垂線、足をＫとする。
すると、ＫはＪＲ上にくる。
図形全体を上からみると、ＩＲとＣＲは底面の正方形の対角線ＥＧとかぶるので、
平面ＡＥＧＣ上にＪＲ、ＣＲ、ＫＳが含まれる。

ＥＧは直角二等辺ＥＦＧの１：１：√２より８ｃｍ。
ＡＪは△ＩＡＪ：△ＩＥＲの辺の比１：２から２ｃｍ。

ポイントは、ＳがＣＲの中点にある情報を活用する。
Ｃを通るＫＳに平行な線を引き、ＩＲとの交点をＬとする。
△ＲＫＳ∽△ＲＬＣから、ＫＳ：ＬＣ＝ＲＳ：ＲＣ＝２：１
ＬＣの長さの半分がＫＳに値する。

ここで△ＣＪＲに着目。
この三角形の面積の出し方を２通りであらわすと…
〔底辺ＪＣ×高さＢＲ÷２＝底辺ＪＲ×高さＬＣ÷２〕
△ＩＡＪ∽ＩＥＲよりＪはＩＲの中点だから、ＪＲ＝ＩＪ＝２√10ｃｍ
ＪＣ＝８－２＝６ｃｍ、ＢＲ＝６ｃｍなので、
６×６÷２＝２√10×ＣＫ÷２
ＬＣ＝18√10/10ｃｍ

ＫＳ＝ＬＣ÷２＝18√10/10÷２＝９√10/10
したがって、四角錐Ｓ－ＰＦＨＱの体積は、
12√10×９√10/10÷３＝36ｃｍ³

＠別解＠

Ｓを通るＪＲに平行な線をひき、ＥＧとの交点をＬとする。
等積変形で立体Ｌ―ＰＦＨＱを求めればいい。
ここで、断頭三角柱の考えを用いる。
底面は△ＪＲＬ、高さはＰＱ・ＦＨ・Ｌの平均。

Ｊ→Ｒは下に６、右に２なので、Ｓ→Ｌは下に３、右に１。
ここからＲＬ＝２＋１＝３ｃｍとわかる。
ＰＱ＝４ｃｍ、ＦＨ＝８ｃｍ、Ｌ＝０ｃｍ
３×６÷２×（４＋８＋０）/３＝36ｃｍ³