2021年度 長崎県公立高校入試・後期過去問【数学】解説

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出題範囲の縮小は中2の確率、中3の円と標本調査。

大問1(小問集合)

(1)
(32-1)÷(-2)
=8÷(-2)
=-4

(2)
√45-10/√5
=3√5-2√5
=√5

(3)
反比例はy=a/x
a=4×8=32
y=32/xにx=2を代入して、
y=32÷2=16

(4)
配る予定の個数は4x個。
しかし、30個では
y個不足する。
4x=30+y
4x-y=30

(5)
x+2y=-1 …①
3x-4y=17 …②
サボは①×2+②でやりました。

 2x+4y=-2
+)3x-4y=17
 5x   =15
x=3 
①に代入して、y=-2
x=3、y=-2

(6)
(x-2)2-5=0
(x-2)2=5
x-2=±√5
x=2±√5

(7)

同位角で74°を上げる。
外角定理を適用して、x=110-74=36°

(8)
最も大きい数⇒5000
千の位が4⇒4100、4010、4001
千の位が3⇒3200
5番目は3200。

(9)

①∠ABC=90°だから、Bを通る垂線を引く。
∠BAC=90°と間違えないように
②ABの長さを垂線へ移す。

(10)

10は平方数ではないので、正方形の1辺は斜めになると予測する。
直角三角形の2辺をa、bとすると、
三平方の定理より、a2+b2=32+12=10
斜辺以外の長さが3cm、1cmである直角三角形の斜辺√10cmが正方形の1辺となる。

大問2(資料問題&整数)

(1)①
相対度数は小数であらわす。
7÷20=0.35


(0×0+1×1+2×4+3×7+4×2+5×6)÷20
=68÷20=3.4冊


①:1年2冊の相対度数は4÷20=0.20で1年生の方が大きい。〇
②:2年4冊以上は25×0.36=9人で2年生の方が大きい。×
③:2年生の最頻値は相対度数が最も高い3冊で1年生と同じ。×
④:1年生の中央値は10番目と11番目の平均⇒3冊
2年生の中央値は相対度数の和が0.5以上に達する3冊で同じ。〇
①、④

(2)①ア
中央が8のとき、周りの4つの和が32だった。
周り4つの和=中央×4
中央の数は、44÷4=11



8を中心に数字の位置関係が対称的がある
こういう場合は
中央の数cをxとおく。
残りの4つの数はx-7、x-1、x+1、x+7となる。
イ…c、ウ…x+7


P=a+b+c+d
=(x-7)+(x-1)+(x+1)+(x+7)
=4x
xは整数だから、4xは4の倍数。
したがって、中央以外の4つの数の和は4の倍数になる。 


大問3(関数)

(1)
y=x2にx=2を代入。
y=22=4

(2)
y=x2にy=1を代入してB(-1、1)。
B(-1、1)⇒A(2、4)
右に3、上に3だから傾きは1。
Bから右に1、上に1移動して切片は2。
y=x+2

(3)
x=0のとき、最小値y=0
x=-2のとき、最大値y=4
0≦y≦4

(4)

y軸に平行な線をひいて等積変形。
3×2÷2=3

(5)

y=x+2にy=0を代入してD(-2、0)
C(0、2)を通る傾き-1の直線はy=x+2とy軸上の(0、2)で交わる
この点をEとする。
2つの直線の傾きの積が-1だから垂直に交わる

△ACDは直角二等辺三角形。
1:1:√2より、AD=4√2

△APDの高さは、4√2×2÷4√2=2
つまり、PE=2となればいい。
傾き-1⇒
1:1:√2を使い、Pのx座標は-√2と√2。

大問4(空間図形)

(1)
側面積は展開図にすると長方形になる。
縦は円柱の高さ4cm、横は底面の円周。
4×6π=24πcm2

(2)
2×2×π×4÷3=16/3πcm3

(3)

おもりが沈んだ分だけ水があふれる。
体積比は相似比の3乗→水面上:おもり全体=13:23=1:8
水面上:水面下=1:7
16/3π×7/8=14/3πcm3

(4)

おもりを上げると、おもりの底面から水面までの高さが2cmから1cmになった。
こういうタイプの問題は、変化の前後で体積が変わらない場所を見つける

赤枠は水面が下がったところ。
この赤枠のマイナス分は、変化前は水面下にあったが変化後に水面より上にある
青く塗りつぶしたプラスの部分と体積が等しい
(両者は重複部分もあるが、それを含めて全体の体積は等しい)
青い部分の体積⇒赤枠の体積を円柱の底面積で割る⇒4cmから下がった水面の高さを引く。

おもり全体の体積比は、43=〇64
青い部分の体積比は、33-23=⑲
青の体積は、16/3π×⑲/〇64=19/12πcm3

下がった水面の高さは、19/12π÷9π=19/108cm
水面の高さは、4-19/108=413/108cm


大問5(平面図形)

(1)
菱形の定義は『4辺が等しい四角形』。
平行四辺形は対辺が等しい。
これにくわえて隣り合う辺が等しくなれば、4辺が等しくなって菱形。

*菱形の性質は『2本の対角線が垂直に交わる』。
PR⊥SQでも菱形になる。菱形は特別な平行四辺形。

(2)
△APS≡△CRQの証明。

仮定よりAP=CR
平行四辺形の対辺でPS=RQ
長方形の内角から∠PAS=∠RCQ
斜辺と他の1辺が等しい直角三角形より合同。

(3)

求めたいAPをxとおく。
PB=2-x

前問の△APS≡△CRQと同じ要領で△BPQ≡△DRS
対応する辺からBQ=DS=1cm

四角形PQRSは菱形だから、PS=PQ
△APSと△BPQの斜辺が等しい⇒三平方の定理で等式
AP2+AS2=BP2+BQ2
2+22=(2-x)2+12
2+4=4-4x+x2+1
4x=1
x=1/4
APの長さは1/4cm。

(4)①
錯角で∠ASB=60°
△ABSの内角は30°―60°―90°だから、辺の比が1:2:√3の直角三角形
菱形よりBS=BQ=8√3cm
ABの長さは、8√3×√3/2=12cm



ひとまず長方形全体を調べてみる。
QC=AS=12×1/√3=4√3cm
菱形のEFGHの面積…対角線×対角線÷2=12√3×12÷2=72√3cm2
左右の不要な2つの三角形を除けば斜線部分が出る

ここで直角三角形BEFに刮目<●><●>ジー
EB=12÷2=6cm
BF=12√3÷2=6√3cm
EB:BF=6:6√3=1:√3
辺の比が1:2:√3の直角三角形で、内角は30°―60°―90°である

角度の調査。BSとEF、EHの交点をそれぞれI、Jとする。
∠BEF=60°、∠ABS=30°
→∠EIB=90°となり、EFとBSは直交している。

△AEH≡△BEFより∠AEH=60°
∠JEI=180-60×2=60°
△EIJの内角も30°ー60°ー90°で辺の比は1:2:√3
EI=6×1/2=3cm
IJ=3√3cm

図形全体が点対称。対称性から右側の三角形も△EIJと合同である。
求積すべきところは、72√3-3×3√3÷2×2=
63√3cm2

大問6(文章題)

(1)
◆令子が1を選ぶ
和男は2・3を同時に取れないので令子が勝つ。
◆令子が2を選ぶ
和男が3を選べば1・3を取れる。令子の負け。
◆令子が3を選ぶ
和男が2を選べば全部とれる。令子負け。
ア…勝ち、イ…負け、ウ…負け

(2)
『1手目で令子が必ず勝つ』といえるには、1手目で令子が3枚取り、
2手目で和男が残りの2枚を同時に取れないと3手目で令子が勝つ

n=5のとき、令子は1手目で4を選んで1・2・4の3枚を取ればいい。
和男は残りの3・5を同時に取れず、3手目で令子の勝利。

(3)①
説明問題。
1手目に令子が1・2を取る。2手目に和男が4を取る。
残りは〔3・5・6・7〕。
令子が2枚取り、残りの2枚が同時に取れない組み合わせだと、
和男⇒令子で令子が勝つ。

令子が6を選んで3・6を取ると、残りの5・7を和男は2枚取れず、
令子が最後のカードをとることができる


発想力が求められる。
令子の1手目終了後の残りは〔2・4・5・6・7〕。
もし、2枚以上取れない組み合わせが連続すれば
和男⇒令子⇒和男⇒令子⇒和男で和男の勝利。
2手目で和男が2を選ぶと、残りの〔4・5・6・7〕は1枚ずつしか取れない。


めんどい(´゚д゚`)
時間が余った限り調べ尽くすしかない。

ただ、(2)で1手目に令子が4を選んで2手目に和男が6を選ぶと、
3手目に令子が何を選んでも和男が必ず勝つとあったから4は違う。
残り6分の1…。

消しやすいものから考えてみる。
1手目令子が最も約数の多い6を選ぶ。
残りは〔4・5・7〕でこれらは1枚ずつしか取れない。
和男⇒令子⇒和男で男の勝ち。×

1手目令子が5を選ぶ。
残りは〔2・3・4・6・7〕だが、2手目和男が6を選ぶと〔4・7〕。
令子⇒和男で男の勝ち。×!

これと同じことが7にも言える。
5・7は素数であり、2と3と違って4・6を選んでも一緒に取れない。×!

今度は1手目令子が3を選ぶ。
前問と同じで2手目和男が2を選べば和男が勝つ。

2でも似たような現象が起きる。
残りは〔3・4・5・6・7〕で和男が3を選ぶと、
残りの4枚は1枚ずつしか取れなくなるから令子⇒和男⇒令子⇒和男で和男の勝ち。

したがって、答えは1となる。。
2手目で和男が選ぶ6パターンを調べてみると、適切な数字を選べば必ず令子が勝ちます。
やってみてね~(*’ω’*)w

2018年度 東京学芸大学附属小金井中学過去問【算数】大問4解説

ルールは異なりますが、ゲームの必勝法を解明する問題がでました。
お時間がある方は、ぜひどうぞです。

大問1
後半戦のためにここで時間を消耗したくない。
大問2
同上。
大問3
(4)ここまでは基本。確実に稼いでおきたい。
(5)2本の直線がy軸上で直交すると気づければ、
その交点からどれほど離れたところにPがあるのか。
大問4
(4)イメージするには経験が求められる。
他には残っている水と水面下のおもりの部分を足してもできるが、
計算が少々面倒くさい。数字が汚いので計算ミスを誘発しやすい。
大問5
(3)三平方の等式は斜辺以外の共通辺で立てる場合が多いが、
本問は菱形の1辺から斜辺で等式を立てるというものだった。
(4)とっかかりを見つけるために試行錯誤が要求される。
大問6
(2)必ず勝つ→残り2枚で和男が1枚しか引けない状況を作出。
(3)③見当がつきにくいので途方に暮れる。
前問の1手目の仮定で2・3・4が出たから、なんとなくこれら以外かと。
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