2021年度　長崎県公立高校入試・後期過去問【数学】解説

問題はコチラ→ＰＤＦファイル
出題範囲の縮小は中２の確率、中３の円と標本調査。

大問１（小問集合）

（１）
（３²－１）÷（－２）
＝８÷（－２）
＝－４

（２）
√45－10/√５
＝３√５－２√５
＝√５

（３）
反比例はｙ＝ａ/ｘ
ａ＝４×８＝32
ｙ＝32/ｘにｘ＝２を代入して、
ｙ＝32÷２＝16

（４）
配る予定の個数は４ｘ個。
しかし、30個ではｙ個不足する。
４ｘ＝30＋ｙ
４ｘ－ｙ＝30

（５）
ｘ＋２ｙ＝－１　…①
３ｘ－４ｙ＝17　…②
サボは①×２＋②でやりました。

　２ｘ＋４ｙ＝－２
＋)３ｘ－４ｙ＝17
　５ｘ　　　＝15
ｘ＝３　
①に代入して、ｙ＝－２
ｘ＝３、ｙ＝－２

（６）
（ｘ－２）²－５＝０
（ｘ－２）²＝５
ｘ－２＝±√５
ｘ＝２±√５

（７）

同位角で74°を上げる。
外角定理を適用して、ｘ＝110－74＝36°

（８）
最も大きい数⇒5000
千の位が４⇒4100、4010、4001
千の位が３⇒3200
５番目は3200。

（９）

①∠ＡＢＣ＝90°だから、Ｂを通る垂線を引く。
∠ＢＡＣ＝90°と間違えないように！
②ＡＢの長さを垂線へ移す。

（10）

10は平方数ではないので、正方形の１辺は斜めになると予測する。
直角三角形の２辺をａ、ｂとすると、
三平方の定理より、ａ²＋ｂ²＝３²＋１²＝10
斜辺以外の長さが３ｃｍ、１ｃｍである直角三角形の斜辺√10ｃｍが正方形の１辺となる。

大問２（データの活用＆整数）

（１）①
相対度数は小数であらわす。
７÷20＝0.35

②
（０×０＋１×１＋２×４＋３×７＋４×２＋５×６）÷20
＝68÷20＝3.4冊

③
①：１年２冊の相対度数は４÷20＝0.20で１年生の方が大きい。〇
②：２年４冊以上は25×0.36＝９人で２年生の方が大きい。×
③：２年生の最頻値は相対度数が最も高い３冊で１年生と同じ。×
④：１年生の中央値は10番目と11番目の平均⇒３冊
２年生の中央値は相対度数の和が0.5以上に達する３冊で同じ。〇
①、④

（２）①ア
中央が８のとき、周りの４つの和が32だった。
周り４つの和＝中央×４
中央の数は、44÷４＝11

②

８を中心に数字の位置関係が対称的がある。
こういう場合は中央の数ｃをｘとおく。
残りの４つの数はｘ－７、ｘ－１、ｘ＋１、ｘ＋７となる。
イ…ｃ、ウ…ｘ＋７

③
Ｐ＝ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ
＝（ｘ－７）＋（ｘ－１）＋（ｘ＋１）＋（ｘ＋７）
＝４ｘ
ｘは整数だから、４ｘは４の倍数。
したがって、中央以外の４つの数の和は４の倍数になる。　

大問３（関数）

（１）
ｙ＝ｘ²にｘ＝２を代入。
ｙ＝２²＝４

（２）
ｙ＝ｘ²にｙ＝１を代入してＢ（－１、１）。
Ｂ（－１、１）⇒Ａ（２、４）
右に３、上に３だから傾きは１。
Ｂから右に１、上に１移動して切片は２。
ｙ＝ｘ＋２

（３）
ｘ＝０のとき、最小値ｙ＝０
ｘ＝－２のとき、最大値ｙ＝４
０≦ｙ≦4

（４）

ｙ軸に平行な線をひいて等積変形。
３×２÷２＝３

（５）

ｙ＝ｘ＋２にｙ＝０を代入してＤ（－２、０）
Ｃ（０、２）を通る傾き－１の直線はｙ＝ｘ＋２とｙ軸上の（０、２）で交わる。
この点をＥとする。
２つの直線の傾きの積が－１だから垂直に交わる！

△ＡＣＤは直角二等辺三角形。
１：１：√２より、ＡＤ＝４√２

△ＡＰＤの高さは、４√２×２÷４√２＝２
つまり、ＰＥ＝２となればいい。
傾き－１⇒１：１：√２を使い、Ｐのｘ座標は－√２と√２。

大問４（空間図形）

（１）
側面積は展開図にすると長方形になる。
縦は円柱の高さ４ｃｍ、横は底面の円周。
４×６π＝24πｃｍ²

（２）
２×２×π×４÷３＝16/３πｃｍ³

（３）

おもりが沈んだ分だけ水があふれる。
体積比は相似比の３乗→水面上：おもり全体＝１³：２³＝１：８
水面上：水面下＝１：７
16/３π×７/８＝14/３πｃｍ³

（４）

おもりを上げると、おもりの底面から水面までの高さが２ｃｍから１ｃｍになった。
こういうタイプの問題は、変化の前後で体積が変わらない場所を見つける。

赤枠は水面が下がったところ。
この赤枠のマイナス分は、変化前は水面下にあったが変化後に水面より上にある
青く塗りつぶしたプラスの部分と体積が等しい。
（両者は重複部分もあるが、それを含めて全体の体積は等しい）
青い部分の体積⇒赤枠の体積を円柱の底面積で割る⇒４ｃｍから下がった水面の高さを引く。

おもり全体の体積比は、４³＝〇64
青い部分の体積比は、３³－２³＝⑲
青の体積は、16/３π×⑲/〇64＝19/12πｃｍ³

下がった水面の高さは、19/12π÷９π＝19/108ｃｍ
水面の高さは、４－19/108＝413/108ｃｍ

大問５（平面図形）

（１）
菱形の定義は『４辺が等しい四角形』。
平行四辺形は対辺が等しい。
これにくわえて隣り合う辺が等しくなれば、４辺が等しくなって菱形。
④
*菱形の性質は『２本の対角線が垂直に交わる』。
ＰＲ⊥ＳＱでも菱形になる。菱形は特別な平行四辺形。

（２）
△ＡＰＳ≡△ＣＲＱの証明。

仮定よりＡＰ＝ＣＲ
平行四辺形の対辺でＰＳ＝ＲＱ
長方形の内角から∠ＰＡＳ＝∠ＲＣＱ
斜辺と他の１辺が等しい直角三角形より合同。

（３）

求めたいＡＰをｘとおく。
ＰＢ＝２－ｘ

前問の△ＡＰＳ≡△ＣＲＱと同じ要領で△ＢＰＱ≡△ＤＲＳ。
対応する辺からＢＱ＝ＤＳ＝１ｃｍ

四角形ＰＱＲＳは菱形だから、ＰＳ＝ＰＱ
△ＡＰＳと△ＢＰＱの斜辺が等しい⇒三平方の定理で等式。
ＡＰ²＋ＡＳ²＝ＢＰ²＋ＢＱ²
ｘ²＋２²＝（２－ｘ）²＋１²
ｘ²＋４＝４－４ｘ＋ｘ²＋１
４ｘ＝１
ｘ＝１/４
ＡＰの長さは１/４ｃｍ。

（４）①
錯角で∠ＡＳＢ＝60°
△ＡＢＳの内角は30°―60°―90°だから、辺の比が１：２：√３の直角三角形。
菱形よりＢＳ＝ＢＱ＝８√３ｃｍ
ＡＢの長さは、８√３×√３/２＝12ｃｍ

②

ひとまず長方形全体を調べてみる。
ＱＣ＝ＡＳ＝12×１/√３＝４√３ｃｍ
菱形のＥＦＧＨの面積…対角線×対角線÷２＝12√３×12÷２＝72√３ｃｍ²
左右の不要な２つの三角形を除けば斜線部分が出る。

ここで直角三角形ＢＥＦに刮目<●><●>ｼﾞｰ
ＥＢ＝12÷２＝６ｃｍ
ＢＦ＝12√３÷２＝６√３ｃｍ
ＥＢ：ＢＦ＝６：６√３＝１：√３
辺の比が１：２：√３の直角三角形で、内角は30°―60°―90°である。

角度の調査。ＢＳとＥＦ、ＥＨの交点をそれぞれＩ、Ｊとする。
∠ＢＥＦ＝60°、∠ＡＢＳ＝30°
→∠ＥＩＢ＝90°となり、ＥＦとＢＳは直交している。

△ＡＥＨ≡△ＢＥＦより∠ＡＥＨ＝60°
∠ＪＥＩ＝180－60×２＝60°
→△ＥＩＪの内角も30°ー60°ー90°で辺の比は１：２：√３。
ＥＩ＝６×１/２＝３ｃｍ
ＩＪ＝３√３ｃｍ

図形全体が点対称。対称性から右側の三角形も△ＥＩＪと合同である。
求積すべきところは、72√３－３×３√３÷２×２＝63√３ｃｍ²

大問６（文章題）

（１）
◆令子が１を選ぶ
和男は２・３を同時に取れないので令子が勝つ。
◆令子が２を選ぶ
和男が３を選べば１・３を取れる。令子の負け。
◆令子が３を選ぶ
和男が２を選べば全部とれる。令子負け。
ア…勝ち、イ…負け、ウ…負け

（２）
『１手目で令子が必ず勝つ』といえるには、１手目で令子が３枚取り、
２手目で和男が残りの２枚を同時に取れないと３手目で令子が勝つ。

ｎ＝５のとき、令子は１手目で４を選んで１・２・４の３枚を取ればいい。
和男は残りの３・５を同時に取れず、３手目で令子の勝利。
４

（３）①
説明問題。
１手目に令子が１・２を取る。２手目に和男が４を取る。
残りは〔３・５・６・７〕。
令子が２枚取り、残りの２枚が同時に取れない組み合わせだと、
和男⇒令子で令子が勝つ。

令子が６を選んで３・６を取ると、残りの５・７を和男は２枚取れず、
令子が最後のカードをとることができる。
６

②
発想力が求められる。
令子の１手目終了後の残りは〔２・４・５・６・７〕。
もし、２枚以上取れない組み合わせが連続すれば、
和男⇒令子⇒和男⇒令子⇒和男で和男の勝利。
２手目で和男が２を選ぶと、残りの〔４・５・６・７〕は１枚ずつしか取れない。
２

③
めんどい(´ﾟдﾟ｀)
時間が余った限り調べ尽くすしかない。

ただ、（２）で１手目に令子が４を選んで２手目に和男が６を選ぶと、
３手目に令子が何を選んでも和男が必ず勝つとあったから４は違う。
残り６分の１…。

消しやすいものから考えてみる。
１手目令子が最も約数の多い６を選ぶ。
残りは〔４・５・７〕でこれらは１枚ずつしか取れない。
和男⇒令子⇒和男で男の勝ち。×

１手目令子が５を選ぶ。
残りは〔２・３・４・６・７〕だが、２手目和男が６を選ぶと〔４・７〕。
令子⇒和男で男の勝ち。×！

これと同じことが７にも言える。
５・７は素数であり、２と３と違って４・６を選んでも一緒に取れない。×！

今度は１手目令子が３を選ぶ。
前問と同じで２手目和男が２を選べば和男が勝つ。

２でも似たような現象が起きる。
残りは〔３・４・５・６・７〕で和男が３を選ぶと、
残りの４枚は１枚ずつしか取れなくなるから令子⇒和男⇒令子⇒和男で和男の勝ち。

したがって、答えは１となる。。
２手目で和男が選ぶ６パターンを調べてみると、適切な数字を選べば必ず令子が勝ちます。
１

2018年度　東京学芸大学附属小金井中学過去問【算数】大問４解説

問題ＰＤＦ 次のようなルールのゲームがあります。 〔ルール〕 ・２人組で行う。 ・１人ずつ交互に、１から順に数を言っていく。 ・１回に少なくとも１つ、（い）最大で３つまで数を言う。 ・（ろ）30を言ってしまったら負け。 〔例〕ＡさんとＢさん...

sabotensabo.com

2019.11.01

ルールは異なりますが、ゲームの必勝法を解明する問題がでました。
お時間がある方は、ぜひどうぞです。