2024年度　奈良県公立高校入試問題過去問【数学】解説

問題はコチラ→ＰＤＦファイル

大問１（小問集合）

（１）①
－３－（－７）
＝－３＋７
＝４

②
３（２ｘ－１）＋ｘ－４
＝６ｘ－３＋ｘ－４
＝７ｘ－７

③
10ｘｙ²÷５ｙ×２ｘ
＝４ｘ²ｙ

④
（ｘ＋４）（ｘ－４）－（ｘ－３）²
＝ｘ²－16－ｘ²＋６ｘ－９
＝６ｘ－25

（２）
ｘ²＋ｘ－５＝０
解の公式を適用して、ｘ＝（－１±√21）/２

（３）
鉛筆…３ｘ円、ノート…５ｙ円
この和が500円より大きいから、３ｘ＋５ｙ＞500

（４）
反比例はｘとｙの積が比例定数ａで一定。
－６×４÷３＝－８

（５）
全体は６×６＝36通り。
結果はＡ＞Ｂ、Ａ＜Ｂ、Ａ＝Ｂの３通りある。
Ａ＝Ｂはゾロ目→（１、１）～（６、６）の６通り
残りは、36－６＝30通り
Ａ＞Ｂ、Ａ＜Ｂは（５、２）（２、５）のように対称的に同数ずつある。
Ａ＞Ｂは30÷２＝15通り
確率は15/36＝５/12

（６）

二等辺ＡＢＣを縦に割ると３：４：５の直角三角形。
回転体は底面が半径４ｃｍの円、高さの合計が６ｃｍの円錐になる。
４×４×π×６÷３＝32πｃｍ³

（７）

①∠ＡＢＰ＝∠ＣＢＰ→∠ＡＢＣの二等分線。
②ＢＰ⊥ＣＰ→ＢＰとＣＰはＰで直交する。
Ｐは①の線上のどこかにあるので、Ｃを通る垂線との交点がＰになる。
＠＠
ＢＣの垂直二等分線→直径をＢＣとする円周を描き、①との交点をＰとしてもいい。
直径に対する円周角が90°なので、∠ＢＰＣ＝90°になる。

（８）①
１組は36人、２組は37人。

ア：範囲＝最大値－最小値。ヒゲ～ヒゲの長さは１組の方が大きい。×
イ：１組の第１四分位数（Q1）は５冊。〇
ウ：37人に中央値（Q2）は19番目の値。
第３四分位数は上位18人の真ん中、上から９番目と10番目の平均。
これが13.5冊ということは10番目が13冊、９番目が14冊→９人は14冊以上〇
エ：２組の10番目は13冊だった。
１組のQ3（９番目と10番目の平均）は12冊・14冊でも平均は13冊になるので不明。×
イ・ウ

②
全校生徒240人を母集団とするので、240人からランダムに選ばなければならない。
“１組”の属性を作為的に抽出している点が誤り。
『全校生徒240人から無作為に標本を抽出していないから』

大問２（総合問題）

（１）①

中心を３つ結ぶと１辺２ｃｍの正三角形。
ａは正三角形の高さにあたる。ａ＝√３

真ん中が√３ｃｍ、両サイドが１ｃｍ。
ｂ＝２＋√３

円は９列並んでいる。
√３ｃｍはあいだの８個、両サイドは１ｃｍずつ。
ｃ＝２＋８√３
あ…√３、い…２＋√３、う…２＋８√３

②

今度は縦の長さをみる。
円を縦に６列並べる予定なので、あいだの√３は５個。
２＋５√３
＝２＋５×1.73
＝10.65ｃｍ
ＡＢ＝10ｃｍを超えるから、太郎さんの考えは正しくない。

（２）
円の数を数列で表すと、
【７・13・20・26・33・39…】
７から始まり、＋６、＋７が繰り返される→偶数項と奇数項で数列が異なる！

偶数項だけ抜き出すと、（ａ_ｎ…ｎ番目の数）
ｎ＝２・４・６
ａ_n＝13・26・39
ｎをａ_nにするには、ｎを13/２倍すればいい。ａ_n＝13/２ｎ

今度は奇数項だけ抜き出す。
ｎ＝１・３・５
ａ_n＝７・20・33
横でみていくと、ｎが２増えるとａ_ｎは13増えている。
変化の割合は13/２→ｎ＝１の初項７に（ｎ－１）回の13/２を足すとａ_ｎになる。
ａ_n＝13/２（ｎ－１）＋７＝13/２ｎ＋１/２
偶数のとき…13/２ｎ個　奇数のとき…13/２ｎ＋１/２個

大問３（関数）

（１）
ｙ＝１/４ｘ²について、
ｘ＝０のとき、最小値ｙ＝０
ｘ＝６のとき、最大値ｙ＝９
０≦ｙ≦９

（２）

①∠ＯＣＰの大きさは次第に大きくなり、Ｂにくると直角になる。
②ＯＰの長さはじめは小さくなる→赤線のＯＰ⊥ＡＢで最短→大きくなる。
①…ア、②…オ

（３）

△ＢＣＰの高さは、21×２÷９＝14/３
Ｐのｘ座標は、６－14/３＝４/３

（４）

ｙ＝１/４ｘ²にｘ座標を代入。
Ａ（－４、４）→Ｂ（６、９）
右に10、上に５だから、傾きは５/10＝１/２
Ａから右に４、上に２移動して、切片は４＋２＝６
ＡＢ；ｙ＝１/２ｘ＋６

ＡＢ//ＤＥから△ＯＤＥ∽△ＯＡＢ。
面積比は△ＯＤＥ：△ＯＡＢ＝１：16
相似比は１：４なので、ＯＥ：ＥＢ（ＯＤ：ＤＡ）＝①：④

ＤＥはＡＢと平行→傾きは１/２
切片で①：④を使う→６×①/④＝３/２
ｙ＝１/２ｘ＋３/２

大問４（平面図形）

（１）
△ＡＢＦ≡△ＡＣＤの証明。

仮定からＡＢ＝ＡＣ、ＢＦ＝ＣＤ
弧ＡＤに対する円周角より、∠ＡＢＦ＝∠ＡＣＤ
２辺とあいだの角が等しいから合同。

（２）

△ＡＢＣは二等辺三角形。
∠ＡＣＢ＝（180－ａ）÷２＝90－１/２ａ°

（３）①

先の合同からＡＦ＝ＡＤ→△ＡＦＤは二等辺。
ＢＦ＝ＣＤ＝２ｃｍ
Ａから垂線をおろし、ＦＤとの交点をＨとすると、
ＦＨ＝ＨＤ＝（６－２）÷２＝２ｃｍ

△ＡＢＨに着目すると、辺の比が３：４：５の直角三角形→ＡＨ＝３ｃｍ
△ＡＨＤで三平方→ＡＤ＝√13ｃｍ

②

先の合同より、△ＡＣＤ：△ＡＥＤの面積比を求めればいい。
２つの三角形は高さ共通なので、面積比は底辺のＡＣ：ＡＥに相当する。
合同から、∠ＢＡＦ＝∠ＣＡＤ（●）
あいだの∠ＦＡＥ（×）をたすと、∠ＢＡＣ＝∠ＦＡＤ（●＋×）
頂角が等しい二等辺→２角相等で△ＡＢＣ∽△ＡＦＤ
△ＡＢＣ：△ＡＦＤ＝５²：（√13）²＝㉕：⑬

△ＡＢＣの一部である△ＡＢＦを、合同である△ＡＣＤに移す。
五角形ＡＦＢＣＤ（㉕）－△ＡＦＤ（⑬）＝△ＢＣＤ（⑫）

ＦＣに補助線。
△ＣＦＤは、⑫×４/６＝⑧
△ＡＦＤと△ＣＦＤは底辺がＦＤで共通、高さの比がＡＥ：ＥＣ
→ＡＥ：ＥＣ＝△ＡＦＤ：△ＣＦＤ＝13：８
△ＡＢＦ（△ＡＣＤ）：△ＡＥＤ＝ＡＣ：ＡＥ＝21：13
したがって、△ＡＢＦの面積は△ＡＥＤの21/13倍。
公立高校入試解説ページに戻る