2020年度 法政大学第二高校過去問【数学】大問5解説

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下の図のように長方形ABCDと正方形ABFEがある。円O正方形ABFEに内接している。辺AB、辺DCの中点をそれぞれL、Mとし、LMとEFの交点をNとする。円Oの周上に点Pをとり、直線LPと辺EDとの交点をQとすると、PN//QMとなった。AE=4cm、ED=2cmであるとき、次の各問に答えなさい。

(1)
∠LQMの大きさを求めなさい。

(2)
面積比△LQM:△MDQ:△QALを分数を含まない形で表しなさい。


@解説@
(1)
みんな正解してくる必答問題。

点の位置を図に描写。
直径に対する円周角は直角→∠LPN=90°
PN//QMから同位角が等しい→∠LQM=90°

(2)

×=90°で角度を調べると、2角相等で△LQM∽△MDQ∽△QAL。
QD=xとおくと、AQ=6-x
△MDQ:△QALより、MD:DQ=QA:AL
2:x=6-x:2
内項と外項の積で、6x-x2=4
2-6x+4=0
解の公式を適用。xの係数が偶数なのでb=2b’が使える。
x=3±√5
ED=2cmでQは辺ED上の点だから0<x<2→x=3-√5

AQ=6-(3-√5)=3+√5

面積比は辺の比の2乗だが、√5が面倒くさい(´・_・`)
各々の面積を直接だしてしまった方が早い。
△LQM…6×2÷2=6
△MDQ…2×(3-√5)÷2=3-√5
△QAL…2×(3+√5)÷2=3+√5
(底辺の長さの比がそのまま面積比になる)
したがって、△LQM:△MDQ:△QAL=6:3-√5:3+√5
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