問題ＰＤＦ
下の図のように、１辺の長さが６の立方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨの中に、
２つの球が入っています。大きい球は、立方体のすべての面に接しており、
小さい球は、大きい球と立方体の３つの面ＡＥＨＤ、ＡＥＦＢ、ＥＦＧＨに接しています。
小さい球の中心をＯとするとき、次の各問いに答えなさい。
（１）
小さい球が面ＥＦＧＨと接する点をＰとするとき、ＥＰ/ＯＰの値を求めなさい。
（２）
２つの球の接点をＱとするとき、四角錘ＱーＥＦＧＨの体積を求めなさい。
＠解説＠
（１）
小球の中心Ｏは球の半径から面ＡＥＨＤ(左側面)、面ＡＥＦＢ(正面)、面ＥＦＧＨ(底面)から等距離で、
３つの面から等距離にある点の集合は立方体の対角線ＥＣである。
（Ｃも３つの面から等距離にある。ＣＤ＝ＣＢ＝ＣＧ）
ＥＯとＥＰを伸ばすとＣとＧにぶつかる。
△ＥＯＰ∽△ＡＣＧ
ＥＰ/ＯＰ＝ＥＧ/ＣＧ
ＥＧは正方形の対角線で６√２だから、
ＥＰ/ＯＰ＝６√２/６＝√２
（２）
大球と小球が接するＱは、どの直線上にあるのだろう？
大球の中心をＯ’、Ｑから垂線をおろして足をＲとする。
大球は立方体に接する→Ｏ’は立方体の中心だから対角線ＥＣ上にある。
小球と大球はＱで接するのでＯ－Ｑ－Ｏ’は一直線上に並び、
ＱはＥＣ上にあるＯとＯ’の間にあるから、ＱもＥＣ上にある。
△ＥＣＧで三平方→ＥＣ＝６√３
△ＥＣＧ∽△ＥＱＲで、ＥＱ：ＱＲ＝ＥＣ：ＣＡ＝６√３：６＝√３：１
立方体の中心にあるＯ’は対角線ＥＣの中点。
ＥＯ’＝６√３÷２＝３√３
Ｏ’Ｑは大球の半径３だから、ＥＱ＝３√３－３
ＱＲ＝（３√３－３）×①/〇√３＝３－√３
したがって、四角錘Ｑ－ＥＦＧＨの体積は、
６×６×（３－√３）÷３＝36－12√３
国私立高校入試解説ページに戻る
コメント