2020年度 豊島岡女子学園高校過去問【数学】大問6解説

下の図のように、1辺の長さが6の立方体ABCD-EFGHの中に、
2つの球が入っています。大きい球は、立方体のすべての面に接しており、
小さい球は、大きい球と立方体の3つの面AEHD、AEFB、EFGHに接しています。
小さい球の中心をOとするとき、次の各問いに答えなさい。

(1)
小さい球が面EFGHと接する点をPとするとき、EP/OPの値を求めなさい。

(2)
2つの球の接点をQとするとき、四角錘QーEFGHの体積を求めなさい。


@解説@
(1)

小球の中心Oは球の半径から面AEHD(左)、面AEFB(前)、面EFGH(底面)から等距離で、
3つの面から等距離にある点の集合は立方体の対角線ECである。
(Cも3つの面から等距離にある。CD=CB=CG)
EOとEPを伸ばすとCとGにあたる。
△EOP∽△ACG
EP/OP=EG/CG
EGは正方形の対角線で6√2だから、
EP/OP=6√2/6=√2

(2)
大球と小球が接するQは、どの直線上にあるのだろう?(´-`).。oO

大球の中心をO’、Qから垂線をおろして足をRとする。
大球は立方体に接するので、O’はどの側面の正方形からみても中心。
すなわち、O’は立方体の中心にあり、立方体の対角線EC上にある。
小球と大球はQで接するのでO-Q-O’は一直線、
かつ、QはEC上にあるOとO’の間にあるから、QもEC上にある

△ECGで三平方→EC=6√3
△ECG∽△EQRで、EQ:QR=EC:CA=6√3:6=√3:1
 
立方体の中心にあるO’は対角線ECの中点
EO’=6√3÷2=3√3
O’Qは大球の半径3だから、EQ=3√3-3
QR=(3√3-3)×①/〇√3=3-√3

したがって、四角錘Q-EFGHの体積は、
6×6×(3-√3)÷3=36-12√3

豊島岡女子の算数も面白いので、ぜひトライしてみてね(*’ω’*)
とくに大問6の空間がヤバめ。
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